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【JZOJ5773】簡單數學題【數論,數學】

題目大意:

思路:

40分做法:

N106N\leq 10^6 直接暴力列舉TT,輸出符合要求的即可。

100分做法:

首先,我們要求的是N12TNT\frac{N-\frac{1}{2}T}{N-T}x=NTx=N-T,那麼就有 N12Tx\frac{N-\frac{1}{2}T}{x} 我們知道,T=NN+T=N(NT)T=N-N+T=N-(N-T),所以 N12[N(NT)]x\frac{N-\frac{1}{2}[N-(N-T)]}{x} 用乘法分配律脫括號 N

12N+12(NT)x\frac{N-\frac{1}{2}N+\frac{1}{2}(N-T)}{x} 拆成兩半 N12Nx+12(NT)x\frac{N-\frac{1}{2}N}{x}+\frac{\frac {1}{2}(N-T)}{x} 左邊可以簡化 12Nx+12(NT)x\frac{\frac{1}{2}N}{x}+\frac{\frac {1}{2}(N-T)}{x} 一開始設了x=NTx=N-T,右邊有一項就是NTN-T,所以我們可以把它簡化成 1
2Nx+12xx\frac{\frac{1}{2}N}{x}+\frac{\frac {1}{2}x}{x}
右邊約分得 12Nx+12\frac{\frac{1}{2}N}{x}+\frac {1}{2} 我們知道,這個式子的值必須是個整數。我們設答案為整數kk 12Nx+12=k\frac{\frac{1}{2}N}{x}+\frac {1}{2}=k 等號兩邊同時乘2得 Nx+1=2k\frac{N}{x}+1=2k 那麼由於2k2k和1都是整數,所以就有Nx\frac{N}{x}也是整數 當N
x\frac{N}{x}
為整數時,xx就一定是NN的因數,所以NTN-T就一定是NN的因數! 那麼我們就列舉NN的因數d[i]d[i],當d[i]+12\frac{d[i]+1}{2}為正整數(即d[i]d[i]是奇數)時,Nd[i]N-d[i]就是一個合法的解!

程式碼:

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 2000100
#define ll long long
using namespace std;

ll n,a[N],d[N],sum,ans;

int main()
{
	cin>>n;
	for (ll i=1;i<=sqrt(n);i++)  //求出n的所有因數
	 if ((n%i)==0)
	 {
	 	if (i*i==n) d[++sum]=i;
	 	else
	 	{
	 		d[++sum]=i;
	 		d[++sum]=n/i;
	 	}
	 }
	for (ll i=1;i<=sum;i++)
	{
		if (((n/d[i])%2)&&n-d[i])  //符合要求
		 a[++ans]=n-d[i];
	}
	sort(a+1,a+1+ans);
	cout<<ans;
	for (int i=1;i<=ans;i++)
	 cout<<' '<<a[i];
	return 0;
}