資料結構之二叉樹

二叉樹的性質

在二叉樹的第 $i$ 層上至多有 $2^{i-1}$ 個結點 $(i \geq 1)$ 。
深度為 $k$ 的二叉樹至多有 $2^{k}-1$ 個結點 $(k\geq 1)$ 。
對任何一棵二叉樹 $T$ ，如果其終端結點數為 $n_0$ ，度為 $2$ 的結點數為 $n_2$ ，則 $n_0=n_2+1$ 。
具有 $n$ 個結點的完全二叉樹的深度為 $【log_2n】+1$ ， $“【】”$ 表示向下取整。
$n$ 個結點的完全二叉樹按層序編號，對任意結點 $i$ 有： a. 如果 $i=1$ ，則結點 $i$ 是二叉樹的根，無雙親；如果 $i>1$ ，則其雙親是結點 $【i/2】$ 。 b. 如果 $2i>n$ ，則結點 $i$ 無左孩子；否則其左孩子是結點 $2i$ 。 c. 如果 $2i+1>n$ ，則結點 $i$ 無右孩子；否則其右孩子是結點 $2i+1$ 。

遍歷二叉樹

前序遍歷

void PreOrder(BiTree T){
	if(T==NULL)
		return;
	printf("%c",T->data);
	PreOrder(T-> 
lchild);
	PreOrder(T->rchild);
}

中序遍歷

void InOrder(BiTree T){
	if(T==NULL)
		return;
	PreOrder(T->lchild);
	printf("%c",T->data);
	PreOrder(T->rchild);
}

後序遍歷

void InOrder(BiTree T){
	if(T==NULL)
		return;
	PreOrder(T->lchild);
	PreOrder(T->rchild);
	printf("%c",T->data);
}

推導遍歷結果

已知一棵二叉樹的前序遍歷為ABCDEF，中序遍歷為CBAEDF，求後序遍歷？

由前序遍歷得到根節點為A，由中序遍歷得到CB為左子樹，EDF為右子樹。

前序中B在前，故B為C的父結點；中序中C在前，故C為B左孩子。同理，D為E、F父結點，E為D左孩子，F為D右孩子。此時二叉樹已經還原了，其後序遍歷為：CBEFDA。

如下兩種情況二下叉樹唯一確定：

已知前序和中序
已知後序和中序

哈夫曼樹

2,3,6,7,10,19,21,32構造哈夫曼樹：

排序
去兩最小值相加，相加後的序列排序
再取兩最小值相加，再排序…
直到只剩下一個數

在這裡插入圖片描述

哈夫曼編碼

對“BADCADFEED”進行哈夫曼編碼： 在這裡插入圖片描述

字母	A	B	C	D	E	F
二進位制	01	1001	101	00	11	1000

“BADCADFEED”編碼後為：1001010010101001000111100

二叉樹順序結構實現

#include "stdio.h"    
#include "stdlib.h"   
#include "io.h"  
#include "math.h"  
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXSIZE 100 /* 儲存空間初始分配量 */
#define MAX_TREE_SIZE 100 /* 二叉樹的最大結點數 */

typedef int Status;		/* Status是函式的型別,其值是函式結果狀態程式碼，如OK等 */
typedef int TElemType;  /* 樹結點的資料型別，目前暫定為整型 */
typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; /* 0號單元儲存根結點  */

typedef struct
{
	int level, order; /* 結點的層,本層序號(按滿二叉樹計算) */
}Position;

TElemType Nil = 0; /*  設整型以0為空 */

Status visit(TElemType c)
{
	printf("%d ", c);
	return OK;
}
/* 構造空二叉樹T。因為T是固定陣列，不會改變，故不需要& */
Status InitBiTree(SqBiTree T)
{
	int i;
	for (i = 0; i<MAX_TREE_SIZE; i++)
		T[i] = Nil; /* 初值為空 */
	return OK;
}
/* 按層序次序輸入二叉樹中結點的值(字元型或整型), 構造順序儲存的二叉樹T */
Status CreateBiTree(SqBiTree T)
{
	int i = 0;
	printf("請按層序輸入結點的值(整型)，0表示空結點，輸999結束。結點數≤%d:\n", MAX_TREE_SIZE);
	while (i<10)
	{
		T[i] = i + 1;

		if (i != 0 && T[(i + 1) / 2 - 1] == Nil&&T[i] != Nil) /* 此結點(不空)無雙親且不是根 */
		{
			printf("出現無雙親的非根結點%d\n", T[i]);
			exit(ERROR);
		}
		i++;
	}
	while (i<MAX_TREE_SIZE)
	{
		T[i] = Nil; /* 將空賦值給T的後面的結點 */
		i++;
	}

	return OK;
}
#define ClearBiTree InitBiTree /* 在順序儲存結構中，兩函式完全一樣 */
/* 初始條件: 二叉樹T存在 */
/* 操作結果: 若T為空二叉樹,則返回TRUE,否則FALSE */
Status BiTreeEmpty(SqBiTree T)
{
	if (T[0] == Nil) /* 根結點為空,則樹空 */
		return TRUE;
	else
		return FALSE;
}
/* 初始條件: 二叉樹T存在。操作結果: 返回T的深度 */
int BiTreeDepth(SqBiTree T)
{
	int i, j = -1;
	for (i = MAX_TREE_SIZE - 1; i >= 0; i--) /* 找到最後一個結點 */
		if (T[i] != Nil)
			break;
	i++;
	do
		j++;
	while (i >= powl(2, j));/* 計算2的j次冪。 */
	return j;
}
/* 初始條件: 二叉樹T存在 */
/* 操作結果:  當T不空,用e返回T的根,返回OK;否則返回ERROR,e無定義 */
Status Root(SqBiTree T, TElemType *e)
{
	if (BiTreeEmpty(T)) /* T空 */
		return ERROR;
	else
	{
		*e = T[0];
		return OK;
	}
}
/* 初始條件: 二叉樹T存在,e是T中某個結點(的位置) */
/* 操作結果: 返回處於位置e(層,本層序號)的結點的值 */
TElemType Value(SqBiTree T, Position e)
{
	return T[(int)powl(2, e.level - 1) + e.order - 2];
}
/* 初始條件: 二叉樹T存在,e是T中某個結點(的位置) */
/* 操作結果: 給處於位置e(層,本層序號)的結點賦新值value */
Status Assign(SqBiTree T, Position e, TElemType value)
{
	int i = (int)powl(2, e.level - 1) + e.order - 2; /* 將層、本層序號轉為矩陣的序號 */
	if (value != Nil&&T[(i + 1) / 2 - 1] == Nil) /* 給葉子賦非空值但雙親為空 */
		return ERROR;
	else if (value == Nil && (T[i * 2 + 1] != Nil || T[i * 2 + 2] != Nil)) /*  給雙親賦空值但有葉子（不空） */
		return ERROR;
	T[i] = value;
	return OK;
}
/* 初始條件: 二叉樹T存在,e是T中某個結點 */
/* 操作結果: 若e是T的非根結點,則返回它的雙親,否則返回＂空＂ */
TElemType Parent(SqBiTree T, TElemType e)
{
	int i;
	if (T[0] == Nil) /* 空樹 */
		return Nil;
	for (i = 1; i <= MAX_TREE_SIZE - 1; i++)
		if (T[i] == e) /* 找到e */
			return T[(i + 1) / 2 - 1];
	return Nil; /* 沒找到e */
}
/* 初始條件: 二叉樹T存在,e是T中某個結點 */
/* 操作結果: 返回e的左孩子。若e無左孩子,則返回＂空＂ */
TElemType LeftChild(SqBiTree T, TElemType e)
{
	int i;
	if (T[0] == Nil) /* 空樹 */
		return Nil;
	for (i = 0; i <= MAX_TREE_SIZE - 1; i++)
		if (T[i] == e) /* 找到e */
			return T[i * 2 + 1];
	return Nil; /* 沒找到e */
}
/* 初始條件: 二叉樹T存在,e是T中某個結點 */
/* 操作結果: 返回e的右孩子。若e無右孩子,則返回＂空＂ */
TElemType RightChild(SqBiTree T, TElemType e)
{
	int i;
	if (T[0] == Nil) /* 空樹 */
		return Nil;
	for (i = 0; i <= MAX_TREE_SIZE - 1; i++)
		if (T[i] == e) /* 找到e */
			return T[i * 2 + 2];
	return Nil; /* 沒找到e */
}
/* 初始條件: 二叉樹T存在,e是T中某個結點 */
/* 操作結果: 返回e的左兄弟。若e是T的左孩子或無左兄弟,則返回＂空＂ */
TElemType LeftSibling(SqBiTree T, TElemType e)
{
	int i;
	if (T[0] == Nil) /* 空樹 */
		return Nil;
	for (i = 1; i <= MAX_TREE_SIZE - 1; i++)
		if (T[i] == e&&i % 2 == 0) /* 找到e且其序號為偶數(是右孩子) */
			return T[i - 1];
	return Nil; /* 沒找到e */
}
/* 初始條件: 二叉樹T存在,e是T中某個結點 */
/* 操作結果: 返回e的右兄弟。若e是T的右孩子或無右兄弟,則返回＂空＂ */
TElemType RightSibling(SqBiTree T, TElemType e)
{
	int i;
	if (T[0] == Nil) /* 空樹 */
		return Nil;
	for (i = 1; i <= MAX_TREE_SIZE - 1; i++)
		if (T[i] == e&&i % 2) /* 找到e且其序號為奇數(是左孩子) */
			return T[i + 1];
	return Nil; /* 沒找到e */
}
/* PreOrderTraverse()呼叫 */
void PreTraverse(SqBiTree T, int e)
{
	visit(T[e]);
	if (T[2 * e + 1] != Nil) /* 左子樹不空 */
		PreTraverse(T, 2 * e + 1);
	if (T[2 * e + 2] != Nil) /* 右子樹不空 */
		PreTraverse(T, 2 * e + 2);
}
/* 初始條件: 二叉樹存在 */
/* 操作結果: 先序遍歷T。 */
Status PreOrderTraverse(SqBiTree T)
{
	if (!BiTreeEmpty(T)) /* 樹不空 */
		PreTraverse(T, 0);
	printf("\n");
	return OK;
}
/* InOrderTraverse()呼叫 */
void InTraverse(SqBiTree T, int e)
{
	if (T[2 * e + 1] != Nil) /* 左子樹不空 */
		InTraverse(T, 2 * e + 1);
	visit(T[e]);
	if (T[2 * e + 2] != Nil) /* 右子樹不空 */
		InTraverse(T, 2 * e + 2);
}
/* 初始條件: 二叉樹存在 */
/* 操作結果: 中序遍歷T。 */
Status InOrderTraverse(SqBiTree T)
{
	if (!BiTreeEmpty(T)) /* 樹不空 */
		InTraverse(T, 0);
	printf("\n");
	return OK;
}
/* PostOrderTraverse()呼叫 */
void PostTraverse(SqBiTree T, int e)
{
	if (T[2 * e + 1] != Nil) /* 左子樹不空 */
		PostTraverse(T, 2 * e + 1);
	if (T[2 * e + 2] != Nil) /* 右子樹不空 */
		PostTraverse(T, 2 * e + 2);
	visit(T[e]);
}

/* 初始條件: 二叉樹T存在 */
/* 操作結果: 後序遍歷T。 */
Status PostOrderTraverse(SqBiTree T)
{
	if (!BiTreeEmpty(T)) /* 樹不空 */
		PostTraverse(T, 0);
	printf("\n");
	return OK;
}
/* 層序遍歷二叉樹 */
void LevelOrderTraverse(SqBiTree T)
{
	int i = MAX_TREE_SIZE - 1, j;
	while (T[i] == Nil)
		i--; /* 找到最後一個非空結點的序號 */
	for (j = 0; j <= i; j++)  /* 從根結點起,按層序遍歷二叉樹 */
		if (T[j] != Nil)
			visit(T[j]); /* 只遍歷非空的結點 */
	printf("\n");
}

/* 逐層、按本層序號輸出二叉樹 */
void Print(SqBiTree T)
{
	int j, k;
	Position p;
	TElemType e;
	for (j = 1; j <= BiTreeDepth(T); j++)
	{
		printf("第%d層: ", j);
		for (k = 1; k <= powl(2, j - 1); k++)
		{
			p.level = j;
			p.order = k;
			e = Value(T, p);
			if (e != Nil)
				printf 
 
              
           
              
              
            
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    C Primer Plus--高階資料結構之二叉樹
      目錄 
 
 二叉搜尋樹 Binary Search Tree 
 用C構建二叉樹ADT
   
   樹結構的定義 
   
 
C Primer Plus--高階資料結構表示之二叉樹 
二叉搜尋樹 Binary Search Tree 
二叉樹是一種高階資料結構。樹中的每個節點都包含一個專案和兩個指向其他 

  
 

    

    
    python資料結構之二叉樹
      
                這裡用python 實現了二叉樹

# Definition for a binary tree node.
class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = 

  
 

    

    
    資料結構之二叉樹
      
							
							
							二叉樹的性質

在二叉樹的第iii層上至多有2i−12^{i-1}2i−1個結點(i≥1)(i \geq 1)(i≥1)。
深度為kkk的二叉樹至多有2k−12^{k}-12k−1個結點(k≥1)(k\geq 1)(k≥1)。
對任何一棵二叉樹TTT，如果其終端 

  
 

    

    
    Python3&資料結構之二叉樹
       
 
 實現二叉樹以及遍歷 
 在電腦科學中，二叉樹是每個結點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）。二叉樹常被用於實現二叉查詢樹和二叉堆。 
   
 二叉樹是遞迴定義的，其結點有左右子樹之分，邏輯上二叉樹有五種基本 

  
 

    

    
    資料結構之二叉樹基本功能的實現
      
							
							
							二叉樹的各種性質在這裡不再重複，本文實現二叉樹的基本操作，包括建立、前序輸出、中序輸出、後序輸出、刪除二叉樹、葉子結點個數、葉子節點的值、交換左右子樹
1.首先建立結構體：
typedef struct Tree_Node{
	char ch;
	struct  

  
 

    

    
    Ikaros的資料結構之二叉樹（基礎概念部分）
      
							
							
							二叉樹（Binary Tree）
在瞭解二叉樹之前你需要了解如下內容：
1.樹（Tree）：是一種非線性資料結構（非線性資料結構包含樹和圖）
①樹的資料結構：

相關術語
a.根節點（root）：樹中沒有前驅的結點
注：一棵樹中只有一個根節點
b.葉子結點（le 

  
 

    

    
    資料結構之"二叉樹的三種遍歷方法"
      
                1、什麼是二叉樹

定義：有且僅有一個根節點，每個節點只有一個父節點，最多含有兩個子節點，子節點有左右之分。

2、二叉樹的遍歷

二叉樹是一種樹形結構，遍歷就是要讓樹中的節點被且僅被訪問一次，即按一定規律排列成一個線性佇列。二叉樹是一種遞迴定義的結構，包含三個部分：根節點（ 

  
 

    

    
    【資料結構之二叉樹】（一）B樹、B-樹、B+樹、B*樹介紹，和B+樹更適合做檔案索引的原因
      
                

     今天看資料庫，書中提到：由於索引是採用 B 樹結構儲存的，所以對應的索引項並不會被刪除，經過一段時間的增刪改操作後，資料庫中就會出現大量的儲存碎片，這和磁碟碎片、記憶體碎片產生原理是類似的，這些儲存碎片不僅佔用了儲存空間，而且降低了資料庫執行的速度。如果發現索引 

  
 

    

    
    【資料結構之二叉樹】（二）B+樹比B樹更適合做檔案索引的原因
      


 原因：相對於B樹，

（1）B+樹空間利用率更高，可減少I/O次數，

一般來說，索引本身也很大，不可能全部儲存在記憶體中，因此索引往往以索引檔案的形式儲存的磁碟上。這樣的話，索引查詢過程中就要產生磁碟I/O消耗。而因為B+樹的內部節點只是作為索引使用，而不像B-樹那樣每個節點都需要儲存硬碟指標。

 

  
 

    

    
    資料結構之---二叉樹C實現
      
                
學過資料結構的都知道樹，那麼什麼是樹？



樹（tree）是包含n（n>0）個結點的有窮集，其中：

（1）每個元素稱為結點（node）；

（2）有一個特定的結點被稱為根結點或樹根（root）。

（3）除根結點之外的其餘資料元素被分為m（m≥0）個互不相交的集合 

  
 

    

    
    資料結構之二叉樹的遍歷：
       
  
  
 一.二叉樹—特殊樹（基礎知識） （一）概念： 一個二叉樹要麼為空，要麼包含一個根節點，外加一個左子樹和右子樹，每一個字數都是二叉樹 (二)二叉樹的形狀： 不平衡二叉樹、完美平衡二叉樹、完全二叉樹、滿二叉樹； 一般來說二叉樹越平衡，訪問、插入、刪除的效能也越高； （三）二叉樹的遍歷; 1,前序 

  
 

    

    
    資料結構之二叉樹應用（哈夫曼樹及哈夫曼編碼實現）（C++）
      
                一、哈夫曼樹1.書上用的是靜態連結串列實現，本文中的哈夫曼樹用 排序連結串列 實現；2.實現了從 字元頻率統計、構建權值集合、建立哈夫曼樹、生成哈夫曼編碼，最後對 給定字串的編碼、解碼功能。3.使用到的 “SortedList.h”標頭檔案，在上篇博文：資料結構之排序單鏈表。 

  
 

    

    
    Python資料結構之二叉樹（涵蓋了構建、刪除、查詢、字典轉換、非遞迴與遞迴遍歷等）
      
							
							
							MyTree.py

#coding=utf-8
import math

class BinTree:
    def __init__(self):
        self.root=None

    def is_empty(self):
       

  
 

    

    
    資料結構之二叉樹(遍歷、建立、深度)
      
								
								            
						
                
1、二叉樹的深度遍歷
        二叉樹的遍歷是指從根結點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹的所有結點，使得每個結點被訪問一次且僅被訪問一次。訪問和次序。
        對於二叉樹的深度遍歷，有前 

  
 

    

    
    資料結構之二叉樹遍歷的遞迴演算法
      
                
        二叉樹是資料結構這門課程中非常重要的知識點，也是最基本的一種樹形結構。在二叉樹的遍歷又是這部分內容的重中之重，那麼今天就這部分內容和大家做一個分享。所謂二叉樹遍歷，就是按照某種特定的次序，遍訪整個二叉樹中的每個結點，使得每個結點被訪問一次，而且只訪問一次。
 

  
 

    

    
    資料結構之二叉樹的先序、中序、後續的求法
      
                

今天來總結下二叉樹前序、中序、後序遍歷相互求法，即如果知道兩個的遍歷，如何求第三種遍歷方法，比較笨的方法是畫出來二叉樹，然後根據各種遍歷不同的特性來求，也可以程式設計求出，下面我們分別說明。

首先，我們看看前序、中序、後序遍歷的特性： 
前序遍歷： 
    1.訪問根 

  
 

    

    
    資料結構之二叉樹的一些基本操作
      
							
							
							二叉樹是樹的特殊一種，具有如下特點：1、每個結點最多有兩顆子樹，結點的度最大為2。2、左子樹和右子樹是有順序的，次序不能顛倒。3、即使某結點只有一個子樹，也要區分左右子樹。 
標頭檔案 BTree.h



#ifndef __BTREE_H__
#define 

  
 

    

    
    C++資料結構之 --二叉樹簡單實現和4種遍歷
      
								
								            
						
                
實驗目的：實現簡單的二叉樹！

標頭檔案：
二叉樹.h
#ifndef 二叉樹_h__
#define 二叉樹_h__
#include <iostream>
#include <q 

  
 

    

    
    資料結構之 二叉樹的儲存和遍歷總結
      
							
							
							知道前序（包括空結點 下面程式碼用’,’代替）建立一個二叉樹，前序 中序 後序 層序輸出 如何求葉子結點數， 如何求二叉樹深度。



#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<st 

  
 

    

    
    資料結構之二叉樹的前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷、層序遍歷
      
                最近也是在準備筆試，由於沒有系統的學過資料結構，所以每次在考到二叉樹的遍歷的時候都是直接跪，次數多了也就怒了，前些天也是準備論文沒時間整這些，現在提交了，算是稍微輕鬆點了，所以花了半天的時間來學了下二叉樹。現在記下來，以便後序查閱。

一、二叉樹的遍歷概念

    1.