組合數學-球盒模型-母函式

阿新 • • 發佈：2018-12-11

球盒模型指的是把球放入盒子裡的題目模型（強行解釋）

廣義組合數

生成函式

分為盒子同或不同，球同或不同，盒子允許空或不空

所以一共八種問題

假設有n個球m個盒子

盒異，球同，盒子允許空 $C_{m+n-1}^{m-1}$

盒異，球同，盒不允許空 $C_{n-1}^{m-1}$

盒同，球同，盒子允許空 $\prod _{j=1}^{m}\frac{1}{1-x^{j}}$ 中的係數

盒同，球同，盒不允許空 $\prod _{j=1}^{m}\frac{x^j}{1-x^{j}}$ 中的係數

-----------------------------------------------------------------------

盒異，球異，盒子允許空 $m^n$

盒異，球異，盒不允許空 $\sum _{k=0}^{m}(C_m^k(-1)^{m-k}k^n)$

盒同，球異，盒子允許空根據下一問列舉盒子個數

盒同，球異，盒不允許空 $\sum _{k=0}^m\frac{(C_m^k(-1)^{m-k}k^n)}{m!}$

證明：

盒異，球同，盒子允許空

$f(x) \\=(x^0+x^1+x^2+x^3...)^m \\=(\frac{1}{1-x})^m \\=(1-x)^{-m}$

$ans \\=C_{-m}^{n}(-x)^n \\=\frac{\prod _{k=-m-n+1}^{-m}k}{n!}(-x)^n \\=\frac{\prod _{k=m}^{m+n-1}k}{n!}x^n \\=C_{m+n-1}^{m-1}x^n$

盒異，球同，盒不允許空

隔板法 $C_{n-1}^{m-1}$

盒同，球同，盒子允許空

$f(x)\\=(x^{1*0}+x^{1*1}+x^{1*2}+...)(x^{2*0}+x^{2*1}+x^{2*2}+...)(x^{3*0}+x^{3*1}+x^{3*2}+...) ...\\=\prod _{j=1}^{m}\sum_{i=0}{(x^{j})^{i}}\\ =\prod _{j=1}^{m}\frac{1}{1-x^{j}}$

盒同，球同，盒子不允許空

$f(x)\\=(x^{1*1}+x^{1*2}+...)(x^{2*1}+x^{2*2}+...)(x^{3*1}+x^{3*2}+...) ...\\=\prod _{j=1}^{m}\sum_{i=1}{(x^{j})^{i}}\\ =\prod _{j=1}^{m}\frac{x^{j}}{1-x^{j}}$

盒子異，球異，盒子允許空

$m^n$

盒子異，球異，盒子允許空

$f(x) \\=(\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...)^{m} \\=(e^{x}-1)^{m} \\=\sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}(e^{x})^{k}) \\=\sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}(1+\frac{(kx)^{1}}{1!}+\frac{(kx)^{2}}{2!}+\frac{(kx)^{3}}{3!}+...))$

$ans\\=\sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}\frac{(kx)^{n}}{n!}) \\= \sum _{k=0}^{m}(C_{m}^{k}(-1)^{m-k}k^n) \frac{x^n}{n!}$

盒同，球異，盒子允許空

設之為B(n,m)

列舉和n號球在一起的數量k

k=0->B(n-1,m-1)

k=1->B(n-2,m-1)

...

$B(n,m)=\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^iB(n-i-1,m-1) =\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^iB(i,m-1)$

盒同，球異，盒不允許空

相當於異，球異，盒不允許空去全排

組合數學-球盒模型-母函式

組合數學-球盒模型-母函式

【AtCoder】【組合數學】【模型轉換】Colorful Balls（AGC012）

排列組合 HDU - 1521 -指數型母函式

將球放入盒中的方法數總結(球盒模型問題)

組合數學-普通型生成函式(母函式)-hdu2082 找單詞

hdu2082找單詞解題報告---母函式（組合數學）

hdu2079選課時間解題報告---母函式/生成函式（組合數學）

sincerit 母函式（組合問題）

hdu 1521 排列組合【指數型母函式】

前端網頁學習day46(組合選擇器屬性選擇器盒模型 a標籤,img標籤,list標籤偽類選擇器)

【模型】球盒問題

刷題記錄【BZOJ2440 完全平方數】數論、組合數學、莫比烏斯函式

排列組合—— 球盒問題

HDU 1521 排列組合（指數型母函式）

組合數學中那些有趣的球和盒子的問題（超強悶騷版,再也不怕球球了）

poj:1850 Code(組合數學？數位dp！)

HiHo1505:小Hi和小Ho的禮物(Meet-In-The-Middle + 組合數學)

BZOJ 3997 [TJOI2015]組合數學（單調DP）

CSS3 盒模型

CSS Display屬性與盒模型

組合數學-球盒模型-母函式

相關推薦