數學基礎

1.轉置矩陣

定義： 將矩陣A同序數的行換成列成為轉置矩陣$A^T$，舉例： $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ 其轉置矩陣為$A^T=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

轉置矩陣具有如下性質： （1）$(A^T)^T=A$

2.矩陣的導數

基本定義： 如果矩陣$A(t)=(a_{ij}(t))_m \times _n$ 每一個元素分量$a_{ij}(t)$是t的可微函式，則矩陣A的導數為： $A^\prime(t)=\dfrac{d}{dt}A(t)=(\dfrac{d}{dt}a_{ij}(t))_m \times _n$

當存在A、B兩個可導矩陣，存在如下一些定理：

（1）$\dfrac{d}{dt}(A(T)+B(T))=\dfrac{d}{dt}A(T)+\dfrac{d}{dt}B(T)$ （2）$\dfrac{d}{dt}(A(T)B(T))=\dfrac{d}{dt}A(T) \cdot B(T) + A(T)\cdot\dfrac{d}{dt} B(T)$

需要注意的是在本例中，求導屬於矩陣對向量的求導（重要），定義如下：

令$A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$ 與$x=[x_1, x_2, ... x_n]^T$

我們有$A.x = \begin{bmatrix} a_{11}x_1 & a_{12}x_2 & \cdots & a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 & a_{22}x_2 & \cdots & a_{2n}x_n \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{m1}x_1 & a_{m2}x_2 & \cdots & a_{mn}x_n \end{bmatrix}$ 此時Ax對向量x，相當於每一行的第i列分別對$x_i$求導，因此： $\dfrac{\partial Ax}{\partial x}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{1m} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix} = A^T$