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矩陣2範數與向量2範數的關係

阿新 • • 發佈：2018-12-12

向量2範數是對應元素平方和：
\lVert\bm{x}\rVert_2=\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}

矩陣2範數是：
\lVert A\rVert_2=\sqrt{\lambda_{1}}
其中\lambda_1是矩陣A^TA的最大特徵值.

 

除此之外，矩陣有一個F範數（Frobenius範數）倒是跟向量的2範數比較相似，是矩陣內所有元素平方和：
\lVert A\rVert_F=\left(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}^2\right)^{\frac{1}{2}}

矩陣的2範數是向量二範數對應的誘導範數。給定某一種向量範數\|x\| ，它所對應的矩陣範數定義為：

\|A\|=\sup_{x\neq 0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}

左邊的範數\|A\|是矩陣範數，而右邊分子分母都是向量範數，因為Ax也是一個向量，通過這種方式定義出來的矩陣範數稱為矩陣的誘導範數。可以證明，矩陣的2範數是由向量2範數誘導定義的。

更多的誘導範數的例子可以參照維基百科：Matrix norm - Wikipedia

 

參考：https://www.zhihu.com/question/57316170/answer/152423607

 

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