數學上，斐波那契數列以遞迴的形式進行定義

注意，遞迴的形式實現較為簡單明瞭，當然在程式設計實踐時，並不推薦遞迴的實現方式，因為存在大量的重複計算，斐波那契的優化實現不是本文的重點，如有興趣，請參閱 每週一刷——從斐波那契數列到動態規劃，本文重點探討菲波那切數列與黃金分割比的關係。

維基百科中說菲波那切數列又叫黃金分割數列，這無疑是在告訴我們我們可以通過黃金分割的方式（5√−125−12）生成出來一個菲波那切數列。

下面我們簡單驗證我們的判斷：

def fib(n):
    return n if n <= 1
 
 else fib(n-1)+fib(n-2) 
N = 20
print([fib(n) for n in range(N)])

[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181]

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所謂黃金分割比，一種猜想：Fn=Fn−1(1+5√−12)Fn=Fn−1(1+5−12)：

int(55*(1+.618)+.5) == 89
int(2584*(1+.618)+.5) == 4181

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indeed，誠哉斯言。

我們接著做如下的模擬：

def gold_fib(n):
 

    return n if n <=2 else int(gold_fib(n-1)*(1+.618))
print([gold_fib(n) for n in range(N)])

[0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585, 4182]
                                # 已經非常接近了，

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矩陣形式推導

還是從定義出發：

通過初等代數方法，我們也可得出此解析解

def matrix_fib(n):
    return int(1/sqrt(5)*(((1+sqrt(5))/2)**n-((1-sqrt(5))/2)**n))

print([matrix_fib(n) for n in range(N)])

[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181]    
                            # 一模一樣，不差分毫

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