題目背景

盛況空前的足球賽即將舉行。球賽門票售票處排起了球迷購票長龍。

按售票處規定，每位購票者限購一張門票，且每張票售價為50元。在排成長龍的球迷中有N個人手持面值50元的錢幣，另有N個人手持面值100元的錢幣。假設售票處在開始售票時沒有零錢。試問這2N個球迷有多少種排隊方式可使售票處不致出現找不出錢的尷尬局面。

題目描述

例如當n=2是，用A表示手持50元面值的球迷，用B表示手持100元錢的球迷。則最多可以得到以下兩組不同的排隊方式，使售票員不至於找不出錢。

第一種:A A B B

第二種:A B A B

[程式設計任務]

對於給定的n (0≤n≤20),計算2N個球迷有多少種排隊方式，可以使售票處不至於找不出錢。

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一個整數，代表N的值

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一個整數，表示方案數

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說明

必開QWORD

測試：N=15

回溯:1秒（超時）

模擬棧：大於10分鐘

遞迴演算法：1秒（超時）

動態規劃：0 MS

組合演算法：16 MS

題解：必須在有 50 元在先的情況下才能收 100 元（每收一個 100 就得找出一個 50），所以我們列舉手頭 50 元的張數就行了。dp[ i ][ j ]表示考慮到了前 i 個人，手裡現有 j （0<=j<=i）張 50 。每一個dp[ i ][ j ]可以由上一個拿了 50 或者 100 轉移過來。拿了 100 就是 dp[i-1][j-1]，（拿了 100 自然就得找出一張 50，所以是 j-1）那拿了 50 就自然是 dp[i-1][j+1]了（手頭多了一張 50）。

動規解法：

import java.util.*;
/*
 *球迷購票問題
 */
public class Main{
	public static void main(String[] args) {
        Scanner in=new Scanner(System.in);
        int n=in.nextInt();
        long[][] dp=new long[2*n+1][2*n+1];
        dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n+n;i++) {
        	for(int j=0;j<=n&&j<=i;j++) {
        		if(j-1>=0)
        			dp[i][j]+=dp[i-1][j-1];
        		dp[i][j]+=dp[i-1][j+1];
        	}
        }
        System.out.println(dp[n+n][0]);
    }
}
 

題解：一個A買票後售票處會積累50元錢，一個B買票需要售票處找零50元錢，說明在一個B買票前至少需要一個A買過票那麼我們就可以將A看作左括號，B看作右括號，問題就是要求合法得括號匹配，即Catalan數，n得範圍開long long不會溢位 所以用一個快一些的遞推公式h(n)=h(n−1)∗(4∗n−2)/(n+1)。

卡特蘭數解法：

import java.util.*;
/*
 *球迷購票問題
 */
public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner in=new Scanner(System.in);
        int n=in.nextInt();
        long[] cat=new long[50];
        cat[0]=cat[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        	cat[i]=cat[i-1]*(4*i-2)/(i+1);
        System.out.println(cat[n]);
    }
}