題目描述：

Given n balloons, indexed from 0 to n-1. Each balloon is painted with a number on it represented by array nums. You are asked to burst all the balloons. If the you burst balloon i you will get nums[left] * nums[i] * nums[right] coins. Here left and right are adjacent indices of i. After the burst, the left

Find the maximum coins you can collect by bursting the balloons wisely.

Note:

• You may imagine nums[-1] = nums[n] = 1. They are not real therefore you can not burst them.
• 0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

Example:

Input: [3,1,5,8]
Output: 167 
Explanation: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []
             coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167
 

題目大意

打氣球遊戲，當我們打某個位置的氣球的時候，能獲得它左右兩個氣球上的分數和自身分數的乘積。問如何打氣球能獲得最多的分數？可以認為最左右兩邊隱含著分數為1不用打破的氣球。

解題方法

這個是個DP的題目，當然也可以通過記憶化搜尋的方式解決。

令dfs(i, j) 和 c[i][j]是在第[i, j]閉區間上打破氣球能獲得最大值。那麼，在其中找到一個不打破的氣球k，則可以得到以下關係：

c[i][j] = max(c[i][j], self.dfs(nums, c, i, k - 1) + nums[i - 1] * nums[k] * nums[j + 1] + self.dfs(nums, c, k + 1, j))
 

含義是，我們找出在[i, k - 1]、[k + 1, j]閉區間打氣球的分數最大值，然後會把第i - 1和第j + 1個氣球保留下來，讓這兩個氣球和第k個氣球相乘，最後求三個加法。

模擬左右兩邊的氣球的方法是直接新增上首尾各一個1，同時使用記憶化能加速不少，也為下一步的DP提供思路。

時間複雜度是O(N^2 * log(N))(不會算…)，空間複雜度是O(N)。

class Solution(object):
    def maxCoins(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        n = len(nums)
        nums.insert(0, 1)
        nums.append(1)
        c = [[0] * (n + 2) for _ in range(n + 2)]
        return self.dfs(nums, c, 1, n)
        
    def dfs(self, nums, c, i, j):
        if i > j: return 0
        if c[i][j] > 0: return c[i][j]
        if i == j: return nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1]
        res = 0
        for k in range(i, j + 1):
            res = max(res, self.dfs(nums, c, i, k - 1) + nums[i - 1] * nums[k] * nums[j + 1] + self.dfs(nums, c, k + 1, j))
        c[i][j] = res
        return c[i][j]

第二種解法是使用DP。

DP一般都可以通過記憶化搜尋來改出來，但是我不會。。很遺憾，參考了別人的程式碼，還是沒搞懂。。

class Solution(object):
    def maxCoins(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        n = len(nums)
        nums.insert(0, 1)
        nums.append(1)
        dp = [[0] * (n + 2) for _ in range(n + 2)]
        for len_ in range(1, n + 1):
            for left in range(1, n - len_ + 2):
                right = left + len_ - 1
                for k in range(left, right + 1):
                    dp[left][right] = max(dp[left][right], dp[left][k - 1] + nums[left - 1] * nums[k] * nums[right + 1] + dp[k + 1][right])
        return dp[1][n]

參考資料：

日期

2018 年 10 月 2 日 —— 小藍單車莫名其妙收了我1塊錢，明明每個月免費騎10次的啊！