歐拉回路

從一個點開始把圖中的邊恰好經過一次，再回到出發點，這樣的路徑就是歐拉回路。

如圖就是一個歐拉回路

歐拉回路判定

不過怎麼樣的圖中才存在歐拉回路呢？

歐拉回路分有向圖和無向圖兩種：

1. 有向圖： 圖中所有點的入度等於出度
2. 無向圖： 圖中所有點的度數都為偶數

這還是很好理解的，不過你可能要問，怎麼知道一個混合圖中有沒有歐拉回路呢？

混合圖的歐拉回路

過程：

1. 先將無向邊隨意定向
2. 判斷每個點的入度和出度是不是同奇偶，不同則無解
3. 用一個超級原點向出度小於入度的點連一條容量為 ${|入度-出度| \over 2}$ 的邊 用一個超級匯點向出度大於入度的點連一條容量為 $\frac{\mathrm{\mid }}{}$
   入度−出度∣2{|入度-出度| \over 2} 的邊
4. 將原圖無向邊的另一個方向邊連到圖中，容量為 1
5. 跑最大流，判斷與 S 相連的邊是否滿流，滿流則有解

PS：其實也十分好理解，其實就是將原來無向邊的方向進行調整，使得每個點的入度等於出度。每個點需要調整 ${|入度-出度| \over 2}$ 次，所以邊的容量為 ${|入度-出度| \over 2}$。 當我們流過一條邊的時候，兩條邊容量各減一，就相當於把邊調整的過程。