三次方程的一道題

前幾天在水木社群數學版看到了一道題，題目如下：

設 $x^3-3x-1=0$ 有三個實根從小到大依次$x_1$、$x_2$、$x_3$，求證：
$x_3^2-x_2^2=x_3-x_1$

這道題難度挺大的，我是在其他人的提示下才找到了解法。這裡記錄一下解題過程。

首先需要估計一下這三個根的數值。可以畫個圖：

可以看到這三個根都在 $[-2, 2]$ 這個區間內。那麼我們可以設 $x = 2 cos \alpha$。 帶入方程，得：

$8 cos^3 \alpha - 6 cos \alpha - 1 = 0$

我們知道三角函式有個三倍角公式：
$cos 3\alpha = 4 cos^3 \alpha - 3 cos \alpha$

利用三倍角公式，可以化簡為：

$cos 3\alpha = \frac{1}{2}$

所以：
$\alpha_1 = \frac{\pi}{9}, \alpha_2 = \frac{7 \pi}{9}, \alpha_3 = \frac{13 \pi}{9}$

換算成度數就是：
$\alpha_1 = 20 ^\circ, \alpha_2 = 140 ^\circ, \alpha_3 = 260 ^\circ$

按照大小來排就是：
$x_1 = 2 cos \frac{7 \pi}{9}, x_2= 2 cos \frac{13 \pi}{9}, x_3 = 2 cos \frac{\pi}{9}$

那麼剩下的就是要驗證：

$2 cos^2 \frac{\pi}{9} - 2 cos^2 \frac{13 \pi}{9} = cos \frac{\pi}{9} - cos \frac{7 \pi}{9}$
由二倍角公式，有：

$2 cos^2 \frac{\pi}{9} - 2 cos^2 \frac{13 \pi}{9} = cos \frac{2\pi}{9} - cos \frac{8 \pi}{9} \\ = (cos\frac{2\pi}{9}+cos \frac{7 \pi}{9}) -cos \frac{7 \pi}{9} - (cos \frac{\pi}{9} + cos \frac{8 \pi}{9}) + cos \frac{\pi}{9} \\ = 2 cos \frac{\pi}{2}cos\frac{5 \pi}{18} -cos \frac{7 \pi}{9} - cos \frac{\pi}{2} cos \frac{7\pi}{18} + cos \frac{\pi}{9} \\ = cos \frac{\pi}{9} - cos \frac{7 \pi}{9}$

至此就完成了證明。