狄利克雷卷積

得記下來,不然很容易忘記呀

數論函式

數論函式:定義域是正整數，值域是一個數集
兩個數論函式加法 ，逐項相加 $(f+g)(n) = f(n) + g(n)$
數乘 ， 這個數和每一項乘：$(xf)(n)=x*f(n)$
積性函式：對於一個數論函式f滿足對於任意$(x,y)=1$，有$f(xy) = f(x)f(y)$那麼f函式是一個積性函式
完全積性函式:$f(xy)=f(x)(y)$
常見的函式:
$\phi(n)$1和n中和n互質的數字個數,是積性函式
$\mu (n)$莫比烏斯函式,是積性函式
$e(n)=[n=1]$單位元,相當於判斷一個數是不是1,完全積性函式

狄利克雷卷積

設f和g是兩個數論函式,並且對於任意的$n>=1$,存在 $$h(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})$$
那麼稱h是f和g的狄利克雷卷積
可以寫成:$h(n) = \sum_{ij=n}f(i)g(j)$

狄利克雷卷積性質

定義f,g的狄利克雷卷積為$ast$
1.$交換律f\ast g=g\ast f$
根據和式的交換律可以證明.
2.$結合律(f \ast g) \ast h = f \ast (g \ast h)$
轉換成狄利克雷卷積形式就可以看出來了.
3.$分配律(f +g)\ast h = f\ast h + g \ast h$
轉換成狄利克雷卷積形式就可以看出來了.
4.$(xf) \ast g = x(f\ast g)$
同上
5.$e \ast f = f ， e在前文中提到過,單位根$
6.逆元 對每個$f(1) ≠ 0$的函式$f$,都存在一個$g$使得$f\ast g = e$

狄利克雷卷積的重要結論

兩個積性函式的狄利克雷卷積是積性函式。
證明以後再說吧.....我不太會.....
這個結論杜教篩的時候可以用到.