【FFT】快速傅裏葉變換

一、復數

1、定義

復數：設 $a$，$b$ 為實數，$i^{2}=−1$ ，形如 $a+bi$ 的數叫復數，其中 $i$ 被稱為虛數單位，復數域是目前已知最大的域

在復平面中，$x$ 代表實數，$y$ 軸（除原點外的點）代表虛數，從原點 $(0,0)$ 到 $(a,b)$ 的向量表示復數 $a+bi$

模長：從原點 $(0,0)$ 到點 $(a,b)$ 的距離，即 $\sqrt{a^2+b^2}$

幅角：假設以逆時針為正方向，從 $x$ 軸正半軸到已知向量的轉角的有向角叫做幅角

2、運算法則

加法：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

減法：$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

乘法：$(a+bi)∗(c+di)=(ac−bd)+(bc+ad)i$

3、單位根

在復平面上，以原點為圓心，$1$ 為半徑作圓，所得的圓叫單位圓。以圓點為起點，圓的 $n$ 等分點為終點，做第 $n$ 個向量，設幅角為正且最小的向量對應的復數為 $omega_{n}^{1}$，稱為 $n$ 次單位根。

根據復數乘法的運算法則，其余 $n−1$ 個復數為 $omega_{n}^{2}$， $omega_{n}^{3}$， $omega_{n}^{4}$…… $

那麽如何計算它們的值呢？這個問題可以由歐拉公式解決

$\omega_{n}^{k}=\cos\ k *\frac{2\pi}{n}+i\sin k*\frac{2\pi}{n}$

4、單位根的性質

• $\omega_{n}^{k}=\cos\ k *\frac{2\pi}{n}+i\sin k*\frac{2\pi}{n}$
• $\omega_{2n}^{2k}=\omega_{n}^{k}$
• $\omega_{n}^{k+\frac{n}{2}}=-\omega_{n}^{k}$
• $\omega_{n}^{0}=\omega_{n}^{n}=1$

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