基於正交流場的引數化方法

• 四邊形網格在有限元分析中應用的非常廣泛，它的每個面都是四邊形，絕大多數頂點的度都是4，這樣的頂點成為奇異點。
• 四邊形網格任何不包括奇異點的單連通區域內都可以與平面直角座標系的一部分建立同胚對映，使得頂點與座標系中橫縱座標都為整數的格點實現一一對應。
• 混合整數法構造四邊形網格最常用的四種方法：

（1）在輸入網格的面上構造正交標架場

（2）利用正交標架場誘導曲面的引數化

（3） 通過對引數的等距取樣構造出四邊形網格。

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• 正交標架的旋轉對稱性：如果P點的正交標架沿著n旋轉了角度，則旋轉以後的標架為而且具有如下旋轉對稱性質：
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• 對於用三角網格表示的曲面，需要對正交流場離散化。流場在三角網格中的表示是在每個三角形面上放置一個正交標架，正交標架可以繞面的法向量旋轉，通過調整他們的方向相鄰面片之間的標架儘可能方向一致。在每個三角形面上，選定一邊的方向作為參照方向，用來表示標架的方向。這樣，相鄰三角形面標架的角度可以表示為
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• 混合整數法的主要思路為交替執行下兩個操作，直到把所有的固定為整數。
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• 引數誘導：正交流場僅僅表示出了引數梯度的方向，要實現曲面的引數化，需要構造梯度方向沿著正交流場的引數。
• 在離散的三角形網格中，可以使用迪傑斯特拉演算法完成奇異點的就近連線構成奇異點之間的連通圖，再構造最小生成樹實現對曲面的單連通剖分。
• 如何使用頂點處引數表示該三角形面上的引數梯度：
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• 實現引數誘導的優化函式：
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等距取樣

奇異點優化

• 連續正交流場的性質

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• 高斯-波涅公式：
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• 正交流場的平滑條件

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• 三角網格上的奇異點調整

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引數優化

• 全域性引數通常都是由三角形網格的頂點承載的。

• 優化過程需要在構造全域性引數化之前，先匯出區域性引數，即網格上的每條邊兩個頂點上的引數差，再根據區域性引數構造出全域性引數。

• 區域性引數可以直接反映出引數梯度與標架方向的一致性，從而可以通過優化區域性引數讓引數的梯度儘可能沿著流場的方向，從而減小角度的畸變。

• 邊上的區域性引數

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• 引數梯度無旋性約束

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• 引數畸變約束

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• 約束條件的封閉性討論

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投影共軛梯度法

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• 使用靜電場優化可以讓奇異點的位置分佈著很好的對稱性。
• 對於方向約束條件無法構造各向同性引數化的情況，必須通過求解條件極值問題讓引數梯度沿著流場方向，否則嚴重的畸變甚至會導致網格缺陷。
• 將三角形面上的無旋性條件作為硬性約束條件，以同一面上各個邊上的引數放大係數儘可能相等為優化函式，這樣構造出來的引數可以在很大程度上保證畸變沿著流場方向，從而保證每個面的角度接近直角，犧牲的僅僅是長寬比。