本講的主要內容有：

• 矩陣空間的具體概念
• 秩1矩陣的概念以及性質
• 小世界圖

矩陣空間

在之前的一講中提到了矩陣空間的概念，其實本質上與之前的向量空間是一致的，只是概念的拓展。例如：矩陣空間 $M$ 是所有 $3\times3$ 的矩陣構成的空間，它的子空間有所有的對稱矩陣（$3 \times 3$）構成的空間以及所有的上三角矩陣（$3 \times 3$）構成的空間等等。 討論矩陣空間 $M$ 的基，這個問題很直觀，我們要找到一組 $3 \times 3$ 的矩陣，通過組合可以生成所有的 $3 \times 3$ 的矩陣，所以矩陣的每個位置都會有一個數字，最基礎的一組基： $($

接下來討論 $M$ 的兩個子空間：

• 所有的對稱矩陣（$3 \times 3$）構成的空間，簡記為 $S$（symmetric matrices）
• 所有的上三角矩陣（$3 \times 3$）構成的空間，簡記為 $U$ （upper triangular matrics）

考慮它們的維數：

• $dim \enspace S=6$ ，一組基為： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
• $dim \space U=6$這個比較好理解，就是對角線以及上三角部分的所有位置都分別有一個數字即可表示所有的矩陣。
• $dim \enspace S\cap U = 3$，這裡類比之前在向量空間中的子空間的交即可。
• 對於 $S\cup U$因為不是子空間，所以不做考慮（這裡也是類比之前的思路），換一種方式：取 $S+U$表示任意一個 $S$ 的矩陣與任意一個 $U$ 的矩陣相加，這樣就構成了一個子空間，並且 $dim \enspace (S+U)=9$

Addition： 在這裡還有一個補充，考慮微分方程： $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + y =0$ 這個微分方程有很多組解，例如：$cos(x)$ 和 $sin(x) $ 均滿足，我們可以得到一個complete solution: $x = c_{1}cox(x) + c_{2}sin(x)$，這種形式與我們研究線性方程組的形式很一致，所以也就說通過$sin(x)$ 與 $cos(x)$ 的組合，我們可以得到解空間，所以這兩個函式可以看作是解空間的 基，雖然這裡不是向量，但是很多時候，我們可以將他們看作是 向量，並且運算與符合向量的性質。

秩1矩陣

秩為1的矩陣，舉個例子： $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 5\\ 2 & 8 & 10 \end{pmatrix}$ 我們可以看出這個矩陣的秩是1，有： $dim\enspace C(A) = r = dim\enspace C(A^{T})$ 上述矩陣可以寫成一種更簡單的形式： $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ 所有的秩1矩陣都可寫成這種列向量×行向量的形式 $A = UV^{T}$ 。注意兩個秩1矩陣相加不一定是秩1矩陣。

另一個關於子空間的例子：在 $\mathbb{R}^{4}$中，向量表示如: $v = \begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3}\\ v_{4} \end{pmatrix}$ ，將所有 滿足 $v_{1} + v_{2} +v_{3} +v_{4} = 0$的向量構成一個子空間，那麼這個子空間的維數是3。我們可以將這個空間理解為方程 $Av=0,A=(1,1,1,1)$