這個算是ICP算法中的一個關鍵步驟，單獨拿出來看一下。

算法流程如下：

1.首先得到同名點集P和X。

2.計算P和X的均值up和ux。

3.由P和X構造協方差矩陣sigma。

4.由協方差矩陣sigma構造4*4對稱矩陣Q。

5.計算Q的特征值與特征向量。其中Q最大特征值對應的特征向量即為最佳旋轉向量q。

6.通過四元數q得到旋轉矩陣R。

7.根據R計算最佳平移向量qr。

具體公式我就不貼圖了，可以參考這篇“ICP算法在點雲配準中的應用”論文的3.1節。

處理效果如下：

原始點集：

其中藍點為原始點集，紅點為旋轉平移後的點集。

配準後點集：

計算得到的旋轉平移矩陣，通過對藍點集進行轉換得到綠點集，比較紅點集與綠點集是否基本一致。

matlab代碼如下：

clear all;
close all;
clc;

%生成原始點集
X=[];Y=[];Z=[];
for i=-180:2:180
    for j=-90:2:90
        x = i * pi / 180.0;
        y = j * pi / 180.0;   
        X =[X,cos(y) * cos(x)];
        Y =[Y,sin(y) * cos(x)];
        Z =[Z,sin(x)]; 
    end
end
P
 
=[X(1:3000)‘ Y(1:3000)‘ Z(1:3000)‘];

%生成變換後點集
i=0.5;j=0.3;k=0.7;
Rx=[1 0 0;0 cos(i) -sin(i); 0 sin(i) cos(i)];
Ry=[cos(j) 0 sin(j);0 1 0;-sin(j) 0 cos(j)];
Rz=[cos(k) -sin(k) 0;sin(k) cos(k) 0;0 0 1];
R=Rx*Ry*Rz;
X=P*R + [0.2,0.3,0.4];

plot3(P(:,1),P(:,2),P(:,3),‘b.‘);
hold on;
plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3),‘r.‘);

 
%計算點集均值
up = mean(P);
ux = mean(X);

P1=P-up;
X1=X-ux;

%計算點集協方差
sigma=P1‘*X1/(length(X1));
sigma_mi = sigma - sigma‘;
M=sigma+sigma‘-trace(sigma)*[1,0,0;0,1,0;0,0,1];

%由協方差構造4*4對稱矩陣
Q=[trace(sigma) sigma_mi(2,3) sigma_mi(3,1) sigma_mi(1,2);
   sigma_mi(2,3) M(1,1) M(1,2) M(1,3);
   sigma_mi(3,1) M(2,1) M(2,2) M(2,3);
   sigma_mi(1,2) M(3,1) M(3,2) M(3,3)];

%計算特征值與特征向量
[x,y] = eig(Q);
e = diag(y);

%計算最大特征值對應的特征向量
lamda=max(e);
for i=1:length(Q)
    if lamda==e(i)
        break;
    end
end
q=x(:,i);

q0=q(1);q1=q(2);q2=q(3);q3=q(4);

%由四元數構造旋轉矩陣
RR=[q0^2+q1^2-q2^2-q3^2 ,2*(q1*q2-q0*q3), 2*(q1*q3+q0*q2);
   2*(q1*q2+q0*q3), q0^2-q1^2+q2^2-q3^2, 2*(q2*q3-q0*q1);
   2*(q1*q3-q0*q2), 2*(q2*q3+q0*q1), q0^2-q1^2-q2^2+q3^2];

%計算平移向量
qr=ux-up*RR‘;

%驗證旋轉矩陣與平移向量正確性
Pre = P*RR‘+qr;

figure;
plot3(P(:,1),P(:,2),P(:,3),‘b.‘);
hold on;
plot3(X(:,1),X(:,2),X(:,3),‘r.‘);

plot3(Pre(:,1),Pre(:,2),Pre(:,3),‘go‘);

matlab練習程序（對應點集配準的四元數法）