​ 今天做的一道題就是有關積性函式與狄利克雷卷積的，很懵逼。覺得有必要學一手了

一. 積性函式是什麼呢？

​ 對於函式f，對於任意的a,b互質，都有:

f(a * b) = f(a) * f(b) 

​ 這樣的函式f就稱為積性函式，若a,b不互質也滿足上述條件的話，那麼函式f又可稱為完全積性函式

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它又有什麼性質呢？

1.若n = p1^q1✖️p2q2✖️ …✖️pn^qn，那麼對於積性函式f，有：

f(n) = f(p1^q1) * f(p2^q2) * ... * f(pn^qn)

2.若積性函式f滿足f(p^n) = f^n§，那麼f也是完全積性函式

二. 那麼，狄利克雷卷積是什麼呢？

​ 對於任意函式f,g，令h = f * g,都有：

h(n) = ∑d|n f(d)⋅g(n / d)  //d為能被n整除的數

​ 此時這個h就可以稱為f和g的狄利克雷卷積

它有什麼性質呢？

​ 1.狄利克雷卷積滿足交換律，結合律，加法分配律：

f * g = g * f
f * g * h = f * (g * h)
f * (g + h) = f * g + f *h

​ 2.積性函式卷個積性函式的狄利克雷卷積仍舊是積性函式

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三. 常見的積性函式和狄利克雷卷積有哪些？

我們先說一下常見的積性函式：

1.id^k(n) = n^k：冪函式，屬於完全積性函式

2.I(n) = 1: 恆等函式，屬於完全積性函式，相當於id^0(n)

3.id(n) = n： 單位函式，屬於完全積性函式，相當於id^1(n)

4.e(n) = [n = 1]：代表單位元函式，它捲上任意的函式都得原函式，即：

e * f = f

5.φ(n)：尤拉函式，表示小於等於 n 且與 n 互質的數的個數

6.μ(n)：莫比烏斯函式，在狄利克雷卷積中與恆等函式互為逆元：

μ * I = e

​ 關於莫比烏斯函式公式：

μ(n) = 1;			//當n為1時
μ(n) = (-1)^k		//當n由k個不同質數相乘得到時
μ(n) = 0;			//其餘情況

7.σ(n)：約數和函式，表示n的全部約數和

8.τ(n)：約數個數函式，表示n的全部約數個數

9.σk(n)=∑d|n d^k ：因數函式，表示n全部約數的k次方和

再來說一下常用的狄利克雷卷積：

1. I ∗ μ = e （即莫比烏斯函式與恆等函式互為逆元）
2. μ∗id = φ (即莫比烏斯函式捲上單位函式為尤拉函式)
3. I ∗ id = σ（即恆等函式卷個單位函式為約數和函式）
4. I ∗ I = τ （即恆等函式卷個恆等函式為約數個數函式）
5. I * φ = id (即恆等函式卷個尤拉函式為單位函式)

可以由狄利克雷卷積證明很多結論，比如：

1.n = ∑d|n φ(d) ，也就是n等於全部 φ(d)的和（φ(d)為d的尤拉函式）

2.σ(n) = ∑d|n τ(d) ∗ φ(n / d)，也就是尤拉函式卷個約數個數函式為約數和函式

3.二項式反演：

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