圖論四：最短路徑演算法
一、廣度優先搜尋
1、思路：距離開始點最近的點首先被賦值，最遠的點最後被賦值。
2、適用範圍：對於非負數權的無圈圖來說（單源最短路徑）。
3、演算法實現：
（1）一個佇列記錄每個每個節點的編號。
（2）將起始節點入隊，將所有節點到起始節點的距離設定為無窮大，起始節點到起始節點的距離為0；
（3）取佇列的第一個節點，這個節點出隊，遍歷這個節點相鄰的節點，如果這個節點的距離是INF就變為它前一個節點的距離+1，並且入隊。
（4）重複（3）操作，直到所有所有佇列為空為止，此時dis陣列記錄了每一個節點到起始節點的最小距離。
4、程式碼：
#include<iostream> #includeView Code<cstdio> #include<queue> #include<vector> using namespace std; const int maxn = 1200; const int INF = 0x3fff; vector <int> vc[maxn]; int dis[maxn]; void bfs(int n) { int i,j,tmp; for(i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF; dis[1]=0; queue <int> q; q.push(1); while(!q.empty()) { tmp=q.front(); q.pop(); for(i=0;i<vc[tmp].size();i++) { if(dis[vc[tmp][i]]>dis[tmp]) { dis[vc[tmp][i]]=dis[tmp]+1; q.push(vc[tmp][i]); } } } } int main(void) {int n,m,i,x,y; cin>>n>>m; for(i=1;i<=m;i++) { cin>>x>>y; vc[x].push_back(y); } bfs(n); cout<<dis[n]<<endl; return 0; }
5、複雜度：O(|V|^2)，複雜度較高。
二、Dijkstra演算法
1、思路：貪心
2、適用範圍：有權圖的非負值的無圈圖，解決單源最短路徑的問題（即從st到ed的最短路徑，st確定）。
3、演算法實現：
（1）edge二維陣列表示儲存圖的邊的資訊，（即鄰接陣列儲存圖結構），vis陣列儲存每個節點的狀態
dis儲存每個節點到起始節點的距離，pre儲存每個節點的前一個節點，用來記錄最短路徑。
（2）開始先初始化，pre陣列初始化為-1，設定dis[st]=1（這一步也可以放到dij（）函式裡面）。
（3）找到dis中最小值的未被標記過的值，然後標記這個值，找到這個值的鄰接點中可以更新的距離。
（4）重複（3）直到pos為-1。
4、程式碼：
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int maxn = 1200; const int INF = 0x3fff; //建立圖結構 int edge[maxn][maxn],dis[maxn],pre[maxn]; int vis[maxn],m,n; void Init() { for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) edge[i][j]=(i==j?0:INF); for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF,pre[i]=-1,vis[i]=0; } void dij(int st) { int i,j; dis[st]=0; for(j=1;j<=n;j++) { int pos=-1,mi=INF; for(i=1;i<=n;i++) if(vis[i]==0&&dis[i]<mi) { mi=dis[i]; pos=i; } if(pos==-1) break; vis[pos]=1; for(i=1;i<=n;i++) if(vis[i]==0&&dis[pos]+edge[pos][i]<dis[i]) { dis[i]=dis[pos]+edge[pos][i]; pre[pos]=i; } } } void Print(int st,int ed) { int x=dis[st]; printf("路徑是："); while(st!=-1) { printf(" %d",st); st=pre[st]; } printf("\t最短路徑距離是：%d\n",dis[ed]); } int main(void) { int x,y,i,z; cin>>n>>m; Init(); for(i=1;i<=m;i++) { cin>>x>>y>>z; edge[x][y]=edge[y][x]=z; } dij(1); Print(1,n); return 0; } /* 5 5 1 2 3 1 4 5 2 3 4 3 4 1 3 5 7 */View Code
5、時間複雜度：O(|V|^3)。
補充：具有負值邊的圖
1、可以加上一個值變為正數然後再進行dij。
2、直接用廣搜，佇列可以保證不會重複計算。
過程：
（1）將開始的節點放進佇列
（2）每一次取出佇列的頭結點，並查詢它的鄰接節點，尋找比它小的邊的權值。
（3）重複操作直到佇列為空。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<queue> using namespace std; const int maxn = 1200; const int INF = 0x3fff; int edge[maxn][maxn],vis[maxn],pre[maxn],dis[maxn],n,m; void Init() { int i,j; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) edge[i][j]=(i==j?0:INF); for(i=1;i<=n;i++) pre[i]=-1,dis[i]=INF,vis[i]=0; dis[1]=0; } void bfs() { queue <int> q; q.push(1); while(!q.empty()) { int top=q.front(); q.pop(); for(int i=1;i<=n;i++) { if(edge[top][i]!=INF&&top!=i&&dis[top]+edge[top][i]<dis[i]) { dis[i]=dis[top]+edge[top][i]; pre[i]=top; if(vis[i]==0) q.push(i),vis[i]=1; } } vis[top]=0; } } void Print(int st,int ed) { while(st!=-1) { printf("%d ",st); st=pre[st]; } printf("\t%d\n",dis[ed]); } int main(void) { int i,j,x,y,z; cin>>n>>m; Init(); for(i=1;i<=m;i++) { cin>>x>>y>>z; edge[x][y]=z; } bfs(); Print(n,n); return 0; } /* 5 5 1 2 3 2 3 -4 3 5 7 1 4 5 4 3 -1 */View Code
三、Floyd演算法
1、思路：動態規劃，狀態轉移方程dw=min(dw,Cv,w);
2、適用範圍：邊權值可以為負數，可以求從任意節點s到其他節點的最短路徑。
3、演算法實現：
（1）設定二維陣列dis（儲存每個節點到其他節點的距離），path（記錄i，j節點之間的中轉節點）。
（2）先初始化，dis陣列賦值為INF，path賦值為j（為中轉做準備）。
（3）三層迴圈，k表示中轉接點，i，j迴圈用來遍歷圖的每一個節點。
（4）可以求出任意兩點之間的最短距離。
4、程式碼：
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int maxn = 1200; const int INF = 0x3fff; int dis[maxn][maxn],path[maxn][maxn],m,n; void Init() { for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) dis[i][j]=INF,path[i][j]=j; } void Floyd() { int i,j,k; for(k=1;k<=n;k++) for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) if(dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]) dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j],path[i][j]=path[i][k]; } int main(void) { int x,y,z; cin>>n>>m; Init(); for(int i=1;i<=m;i++) { cin>>x>>y>>z;dis[x][y]=dis[y][z]=z; } Floyd(); printf("%d\n",dis[1][n]); int st=1,ed=n; while(st!=ed) //記錄路徑 { cout<<st<<" "; st=path[st][ed]; } printf("%d\n",ed); return 0; } /* 5 4 1 2 3 2 3 4 3 4 2 2 5 -1 */View Code
5、複雜度：O(|V|^3)。