寫在前面

那就先從一個例題引入吧 （來自《組合數學》P110）

題目

在一次聚會上，有 \(n\) 位男士和 \(n\) 位女士。這 \(n\) 位女士能夠有多少種方法選擇男舞伴開始第一支舞？如果在一首曲後每個人必須換舞伴，那麼第二支舞又有多少種選擇方法？

分析

首先，第一支舞有 \(n!\) 中選擇，而第二支舞的選擇方法數為後面要講的錯位排序數 \(D_n\)

錯位排列

首先安利 \(Planet6174\) 的部落格講解 小學生都能看懂的錯排問題解析 （高中生表示看懂了）

問題

給定 \(n\) 元集合 \(X\)，它的每一個元素都有一個特定的位置，而現在要求求出沒有一個元素在它指定的位置上的排列的數目。（發現就是上面的第二支舞）

特別的，請注意，每一個元素都只有一個限定不能放的位置。

方法

我們這裡假定第 \(i\) 個元素不能放在第 \(i\) 個位置上（因為不一樣的我們可以通過交換達成，對應順序沒有影響）

用 \(D_n\) 表示 \(\{1,2,3,...n\}\) 的錯位排列的數目。那麼，對於 \(n=1\) ，不存在可行解； \(n=2\) 時，唯一的錯位排列是 2 1； \(n=3\) 時有兩個排列 2 3 1 和 3 1 2。因此，我們有 \(D_1=0\)， \(D_2=1\)， \(D_3=2\)。

遞推式

考慮將第 \(k\) 個元素放到第 \(n\) 個位置 \((k \neq n)\)

參考資料

1、\(Planet6174\) 小學生都能看懂的錯排問題解析
2、《組合數學》第六章 容斥原理及應用-錯位排序