${\color{Cyan} 矩陣鏈相乘 }$

Description

Input

n表示矩陣的個數(<=100)

n+1個數,表示矩陣(<=100)

Output

最小的乘法次數

Sample Input

5

5 10 4 6 10 2

Sample Output

348

題目大意：

有n個矩陣，輸入n+1個數，第i個矩陣的行列分別為第i和第i+1個數，將他們合併在一起，合併的時間為前面的矩陣的行×前面的矩陣的列/後面的矩陣的行×後面的矩陣的列，要使他們合併成一對的時間最少

解題方法：

這道題大體和石子合併（ssl 2863)相同（至少我這麼認為）,但他合併的代價為前面的矩陣的行數×前面的矩陣的列數/後面的矩陣的行數×後面的矩陣的列數，並且輸入多了一個數,

未做過石子合併的“大佬”看此：

我們先列舉合成矩陣的個數(len)，再列舉矩陣的第一個(i)，最後一個(j)就出來了，最後列舉分割線(k)，用分割線前面矩陣花費的時間加上後面矩陣花費的時間，最後加上a[i]×a[k]×a[j+1] (因為是最後一個矩陣的 ${\color{Red}列}$，所以還要加1)

動態轉移方程：

$f$

[ i ] [ j ] = m i n { f [ i ] [ j ] f [ i ] [ k − 1 ] + f [ k ] [ j ] + a [ i ] ∗ a [ k ] ∗ a [ j + 1 ] f[i][j]=min\left\{\begin{matrix}f[i][j]\\ f[i][k-1]+f[k][j]+a[i]*a[k]*a[j+1]\end{matrix}\right.

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[105][105],a[105],n,j;
int main()
{
	memset(f,127/3,sizeof(f));//因為要求最小，所以要先賦一個大的值
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n+1;i++)//n要加1
	  {
	  	scanf("%d",&a[i]);
	  	f[i][i]=0;//把只有一個矩陣的清零
	  }
	for (int i=1;i<=n-1;i++)//2因為只有兩個矩陣，所以可以特殊處理(更快)
	  f[i][i+1]=a[i]*a[i+1]*a[i+2];
	for (int len=3;len<=n;len++)//長度
	  for (int i=1;i<=n-len+1;i++)//前面的矩陣
	    {
		  j=i+len-1;//後面的矩陣
		  for (int k=i+1;k<=j;k++)
		    f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k-1]+f[k][j]+a[i]*a[k]*a[j+1]);//動態轉移方程
	    }
	printf("%d",f[1][n]);
}

${\color{Blue} 能量項鍊 }$

Description

在Mars星球上，每個Mars人都隨身佩帶著一串能量項鍊。在項鍊上有N顆能量珠。能量珠是一顆有頭標記與尾標記的珠子，這些標記對應著某個正整數。並且，對於相鄰的兩顆珠子，前一顆珠子的尾標記一定等於後一顆珠子的頭標記。因為只有這樣，通過吸盤（吸盤是Mars人吸收能量的一種器官）的作用，這兩顆珠子才能聚合成一顆珠子，同時釋放出可以被吸盤吸收的能量。如果前一顆能量珠的頭標記為m，尾標記為r，後一顆能量珠的頭標記為r，尾標記為n，則聚合後釋放的能量為（Mars單位），新產生的珠子的頭標記為m，尾標記為n。

需要時，Mars人就用吸盤夾住相鄰的兩顆珠子，通過聚合得到能量，直到項鍊上只剩下一顆珠子為止。顯然，不同的聚合順序得到的總能量是不同的，請你設計一個聚合順序，使一串項鍊釋放出的總能量最大。

例如：設N=4，4顆珠子的頭標記與尾標記依次為(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我們用記號⊕表示兩顆珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k兩顆珠子聚合後所釋放的能量。則第4、1兩顆珠子聚合後釋放的能量為：

(4⊕1)=1023=60。

這一串項鍊可以得到最優值的一個聚合順序所釋放的總能量為

((4⊕1)⊕2)⊕3）=1023+1035+10510=710。

Input

輸入的第一行是一個正整數N（4≤N≤100），表示項鍊上珠子的個數。第二行是N個用空格隔開的正整數，所有的數均不超過1000。第i個數為第i顆珠子的頭標記（1≤i≤N），當i時，第i顆珠子的尾標記應該等於第i+1顆珠子的頭標記。第N顆珠子的尾標記應該等於第1顆珠子的頭標記。

至於珠子的順序，你可以這樣確定：將項鍊放到桌面上，不要出現交叉，隨意指定第一顆珠子，然後按順時針方向確定其他珠子的順序。

Output

輸出只有一行，是一個正整數E（E≤2.1*109），為一個最優聚合順序所釋放的總能量。

Sample Input

4

2 3 5 10

Sample Output

710

題目大意：

有n個矩陣。。。（和上體敘述大體一致），但它是一個環形，輸入n個數(a[1],a[2]…a[n])，每個矩陣的行列為a[1]×a[2],a[2]×a[3]…a[n-1]×a[n],a[n]×a[1],因為它是一個環形，所以只要是相鄰的，就可以合併， ${\color{Red}要求最大的！！！要求最大的！！！}$ ${\color{Red}要求最大的！！！（重要的事情說三遍）}$。

解題方法：

我們可以按下圖存放a，將1-4，2-5，3-6，4-7這一堆當作第一題做，再從這些中求最大的，但這樣（3+1重迴圈）有80%的可能性TLE，所以我們可以將他們放在一起做，這樣重複的就可以不做了（詳情請看程式）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f[205][205],a[205],n,j,ans;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  {
	  	scanf("%d",&a[i]);
	  	a[i+n]=a[i];//複製一遍
	  }
	for (int i=1;i<=n*2-2;i++)//要再加一個n，因為n+1到n*2是等於1到n的，所以要加1，n-1+n-1=n*2-2
	  f[i][i+1]=a[i]*a[i+1]*a[i+2];//長度為2的提前做
	for (int len=3;len<=n;len++)//一樣
	  for (int i=1;i<=n*2-len;i++)//後面的也要求，所以要加n,因為n+1到n*2是等於1到n的，所以要加1，n-len+1+n-1=n*2-len
	    {
		  j=i+len-1;//一樣
		  for (int k=i+1;k<=j;k++)//一樣
		    f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k-1]+f[k][j]+a[i]*a[k]*a[j+1]);//要求最大的
	    }
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  ans=max(ans,f[i][i+n-1]);//要從這些中找最大的
	printf("%d",ans);
}