$取數字問題$

Description

給定M*N的矩陣，其中的每個元素都是-10到10之間的整數。你的任務是從左上角（1，1）走到右下角（M，N），每一步只能向右或向下，並且不能走出矩陣的範圍。你所經過的方格里面的數字都必須被選取，請找出一條最合適的道路，使得在路上被選取的數字之和是儘可能小的正整數。

Input

第一行兩個整數M，N，（2<=M,N<=10），分別表示矩陣的行和列的數目。

接下來的M行，每行包括N個整數，就是矩陣中的每一行的N個元素。

Output

僅一行一個整數，表示所選道路上數字之和所能達到的最小的正整數。如果不能達到任何正整數就輸出-1。

Sample Input

2 2

0 2

1 0

Sample Output

1

題目大意：

有一個n*m的矩陣，每個位置都有一個-10~10的分數（每走到一個位置，就會自動得到當前位置的分數），要從（1，1）走到（n,m），要使分數是正整數，並且最小，若結果都非正整數，輸出-1

$方法一$

解題方法：

先列舉一個i（結果），然後從(n,m)dfs到(1,1)，使當前值為上一個f（存結果）減去當前的a（本來的數值），當(1,1)為0時，就是可以從(n,m)到(1,1)，否則列舉下一個a，因為有負數所以存的時候要加一個M(我寫的是1001)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#define M 1001
using namespace std;
int ans,n,m,a[15][15],f[15][15][M*2];
void dfs(int x,int y,int d)//x,y為行列,d為當前數
{
	f[x][y][d+M]=1;
	if (f[1][1][M]) return;
	if ((x>1)&&(!f[x-1][y][d-a[x-1][y]+M])) dfs(x-1,y,d-a[x-1][y]);//往上，要先判斷是否越界，是否走過同樣的數，如果走了同樣的數就會浪費時間
	if ((y>1)&&(!f[x][y-1][d-a[x][y-1]+M])) dfs(x,y-1,d-a[x][y-1]);//往左，要先判斷是否越界，是否走過同樣的數，如果走了同樣的數就會浪費時間
}
int main()
{
	ans=-1;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  for (int j=1;j<=m;j++)
	    scanf("%d",&a[i][j]);//輸入
	for (int i=1;i<=n*m*10;i++)//列舉結果
	  {
	  	dfs(n,m,i-a[n][m]);//最後一個要先減去它的a值
	  	if (f[1][1][M]) //如果有結果就記錄，break
	  	  {
	  	  	ans=i;
			break;
	  	  }
	  }
	printf("%d",ans);
}

$方法二$

用DP的方法，用一個數組f[i][j][k]來表示第i行第j列是否能得到數字k，但k是已經加了一個M（我寫的是1001）的，所以在輸出時要從M+1開始

動態轉移方程：

$\left\{\begin{matrix}if(f[i-1][j][k]) &amp; f[i][j][k+a[i][j]]=1\\ if (f[i][j-1][k]) &amp; f[i][j][k+a[i][j]]=1\end{matrix}\right.$

解釋：

第一行的為取上的數，第二行的為取上的數

程式解析待續…

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#define M 1001
using namespace std;
int a[15][15],f[15][15][M*2+5],n,m,t;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  for (int j=1;j<=m;j++)
	    scanf("%d",&a[i][j]);
	f[1][1][a[1][1]+M]=1;//（1，1）的值初始化為自己的值
	t=a[1][1]+M;//存好，後面要用
	for (int i=2;i<=n;i++)//第一列下去
	  f[i][1][t+a[i][1]]=1,t+=a[i][1];//t為前面的值，加上當前的值，再賦值1，表示有這個數；後面一句是為了方便後面求值
	t=a[1][1]+M;//再存，後面還要用
	for (int j=2;j<=m;j++)//第一行
	  f[1][j][t+a[1][j]]=1,t+=a[1][j];//同上
	for (int i=2;i<=n;i++)//行
	  for (int j=2;j<=m;j++)//列
	    for (int k=1;k<=M*2;k++)//上一個的數字
	      {
	      	if (f[i-1][j][k]) f[i][j][k+a[i][j]]=1;//動態轉移方程
	      	if (f[i][j-1][k]) f[i][j][k+a[i][j]]=1;//動態轉移方程
	      }
	int k=M+1;//因0~M-1是負數，M是0（提前加過了），所以從M+1開始
	while ((!f[n][m][k])&&(k<=M*2)) k++;//求最小，第二個判定是為了不出界
	if (k<=M*2) printf("%d",k-M);//如果大於M*2就說明無解
	else printf("-1");
}

$方法三$

直接相加，用一個三位陣列f，f[i][j][0]表示第i行第j列有多少個數字，之後的f[i][j][k]表示他的數字

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[11][11],n,m,ans,f[11][11][50000];
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  for (int j=1;j<=m;j++)
	    scanf("%d",&a[i][j]);
	f[1][1][0]=1;//初始化
	f[1][1][1]=a[1][1];//初始化
	for (int i=2;i<=n;i++)
	  f[i][1][1]=f[i-1][1][1]+a[i][1],f[i][1][0]=1;//第一列
	for (int i=2;i<=m;i++)
	  f[1][i][1]=f[1][i-1][1]+a[1][i],f[1][i][0]=1;//第一行
	for (int i=2;i<=n;i++)
	  for (int j=2;j<=m;j++)
	    {
	    	f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+f[i][j-1][0];//數字個數為上面數字個數加左邊數字個數
	    	for (int k=1;k<=f[i-1][j][0];k++)
	    	  f[i][j][k]=f[i-1][j][k]+a[i][j];//直接加
	    	for (int k=1;k<=f[i][j-1][0];k++)
	    	  f[i][j][k+f[i-1][j][0]]=f[i][j-1][k]+a[i][j];//不能覆蓋，要再加上f[i-1][j][0]
	    }
	ans=2147483647;//因為要求最小，所以要賦一個大的值
	for (int i=1;i<=f[n][m][0];i++)
	  if (f[n][m][i]>0)//排除負數和0
	    ans=min(ans,f[n][m][i]);
	if (ans==2147483647) printf("-1");//如果沒有改變，輸出-1
	else printf("%d",ans);
}