題目

設 $d(x)$為 $x$

分析

又到了推式子的過程了
$ans=\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$
根據莫比烏斯反演，得到
$ans=\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d|gcd(x,y)}\mu(d)$
直接列舉 $d$，得到
$ans=\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)*[d|gcd(x,y)]$
把只有關 $d$的項移出，得到
$ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\sum_{x|i}\sum_{y|j}[d|gcd(x,y)]$
換一種方式，得到
$ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m[d|gcd(x,y)]\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\lfloor\frac{m}{y}\rfloor$
列舉 $dx,dy$，得到
$ans=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{dx}\rfloor\lfloor\frac{m}{dy}\rfloor$
再移項，得到
$ans=\underset{d=1}{\overset{min(n,m)}{\sum }}\mu \left(d\right)(\underset{x=1}{\overset{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{\sum }}\lfloor \frac{n}{}$