有一個長度為 $n$的的數列， $a_i$的值域只有 $k$

k 個元素。
一個數列有一些數字已經填上。現在要求數列連續的數字長度不能超過 $l$,問所有不同的數列的個數有多少個。
1.考慮所有的數字都沒填上。設 $dp[$

i ] [ j ] [ s ] dp[i][j][s] 為第 $i$個位置填入第 $j$種顏色且已經有連續的 $s$個數字的方案數。顯然:
那麼:
$dp[i][j][s]=dp[i-1][j][s-1] -[s\geqslant l-1](\sum_{p=1}^{\infty}(\sum_{t=1}^k dp[i-l+1][t][p]-dp[i-l+1][j][p])),2\leqslant s \leqslant l-1,\\ dp[i][j][s]=\sum_{1\leqslant t\leqslant k,j\neq t}\sum_{p=1}^{\infty}dp[i-1][t][p],s=1\\ dp[i][j][s]=0,s\geqslant l.$
求和得:
$\sum_{p=1}^{s}dp[i][j][p]=\sum_{p=1}^{\infty}\sum_{t=1}^kdp[i-1][j][p]-[s\geqslant l-1](\sum_{p=1}^{\infty}\sum_{t=1}^k dp[i-l+1][t][p]-\sum_{p=1}^{\infty}dp[i-l+1][j][p])$
因為具有規整性，並且考慮到 $dp[i][j][s]=dp[i-1][j][s-1]$，
所以令 $\displaystyle ava[i][j]=\sum_{p=1}^{\infty}dp[i][j][p],sum[i]=\sum_{i=1}^k ava[i][j]$,得:
$ava[i][j]=sum[i-1]-[\max avalen_j\geqslant l-1](sum[i-l+1]-ava[i-l+1]),i=1,2,\dots,n$
其中 $\max avalen_j$是指當前可能達到的最大連續後綴長度。
2.考慮有的數字已經填上。顯然這時候，如果 $j=a[i]$