Description

求 $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} lcm(i,j)$ $n\leq 10^{10}$

Solution

將$lcm$拆開 原式化為 $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} {ij\over \gcd(i,j)}$ 令$d=\gcd(i,j),i=i/d,j=j/d$

考慮對稱性，有 $=\sum\limits_{d=1}^{n}d*\left(2\left(\sum\limits_{i=1}^{n\over d}i\sum\limits_{j=1}^{i} j[\gcd(i,j)=1]\right)-1\right)$

我們知道，小於等於n且與n互質的數的和是$φ(n)*n\over 2$（考慮一個小於等於n且與n互質的數i，顯然n-i也與n互質，這樣總共有$φ(n)\over 2$組） 1除外，小於等於1且與1互質的數的和是1，因此還要加上一個$1\over 2$ 因此又有 $=\sum\limits_{d=1}^{n}d*\left(2\left(\sum\limits_{i=1}^{n\over d}{φ(i)*i^2\over 2}\right)-1+{1\over 2}*2\right)$