現代公鑰密碼學基於的三大數學問題

大整數因數分解問題

• 給定兩個大素數p,q,計算乘積p·q=n很容易；
• 給定大整數n，求n的素因素p,q使得n=p·q非常困難.

離散對數問題

• 已知 a; * 計算 g^a = h；得出h很簡單
• 已知 h; * 計算 g^a = h；得出a非常困難

橢圓曲線離散對數問題（轉）

已知有限域F_p上的橢圓曲線點群 E(F_p)={(x,y)∈F_p×F_p∣y²=x³+ax+b,a,b∈F_p}∪{O}， 點P=(x,y)的階為一個大素數. Ⅰ）給定整數a，計算整數x，使得xP=(x_a,y_a)=Q很容易； Ⅱ）給定點Q，計算整數x，使得xP=Q非常困難. 例3 P=10823是一個素數，有限域F_p=Z/pZ上的橢圓曲線點群 E(F_p)={(x,y)∈F_p×F_p∣y²=x³+3x+7}∪{O}， ∣E(F_p)∣=100482=2·3·16747.E(F_p)的生成元為P_0=(1,8811).點P=6P_0=(62046,14962)的階為素數16747. Ⅰ)給定a=1007，計算aP=(80726,17229)=Q很容易； Ⅱ）給定點Q=(80726,17229)，求整數x使得xP=Q很困難.