kmp演算法 關於next陣列的詳細解釋
前言
之前對kmp演算法雖然瞭解它的原理，即求出P0···Pi的最大相同前後綴長度k；但是問題在於如何求出這個最大前後綴長度呢？我覺得網上很多帖子都說的不是很清楚，總感覺沒有把那層紙戳破，後來翻看演算法導論，32章 字串匹配雖然講到了對前後綴計算的正確性，但是大量的推理證明不大好理解，沒有與程式結合起來講。今天我在這裡講一講我的一些理解，希望大家多多指教，如果有不清楚的或錯誤的請給我留言。
1.kmp演算法的原理：
字串匹配是計算機的基本任務之一。
舉例來說，有一個字串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"，我想知道，裡面是否包含另一個字串"ABCDABD"？
許多演算法可以完成這個任務，Knuth-Morris-Pratt演算法（簡稱KMP）是最常用的之一。它以三個發明者命名，起頭的那個K就是著名科學家Donald Knuth。
這種演算法不太容易理解，網上有很多解釋，但讀起來都很費勁。直到讀到Jake Boxer的文章，我才真正理解這種演算法。下面，我用自己的語言，試圖寫一篇比較好懂的KMP演算法解釋。
1.
首先，字串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一個字元與搜尋詞"ABCDABD"的第一個字元，進行比較。因為B與A不匹配，所以搜尋詞後移一位。
2.
因為B與A不匹配，搜尋詞再往後移。
3.
就這樣，直到字串有一個字元，與搜尋詞的第一個字元相同為止。
4.
接著比較字串和搜尋詞的下一個字元，還是相同。
5.
直到字串有一個字元，與搜尋詞對應的字元不相同為止。
6.
這時，最自然的反應是，將搜尋詞整個後移一位，再從頭逐個比較。這樣做雖然可行，但是效率很差，因為你要把"搜尋位置"移到已經比較過的位置，重比一遍。
7.
一個基本事實是，當空格與D不匹配時，你其實知道前面六個字元是"ABCDAB"。KMP演算法的想法是，設法利用這個已知資訊，不要把"搜尋位置"移回已經比較過的位置，繼續把它向後移，這樣就提高了效率。
8.
怎麼做到這一點呢？可以針對搜尋詞，算出一張《部分匹配表》（Partial Match Table）。這張表是如何產生的，後面再介紹，這裡只要會用就可以了。
9.
已知空格與D不匹配時，前面六個字元"ABCDAB"是匹配的。查表可知，最後一個匹配字元B對應的"部分匹配值"為2，因此按照下面的公式算出向後移動的位數：
移動位數 = 已匹配的字元數 - 對應的部分匹配值
因為 6 - 2 等於4，所以將搜尋詞向後移動4位。
10.
因為空格與Ｃ不匹配，搜尋詞還要繼續往後移。這時，已匹配的字元數為2（"AB"），對應的"部分匹配值"為0。所以，移動位數 = 2 - 0，結果為 2，於是將搜尋詞向後移2位。
11.
因為空格與A不匹配，繼續後移一位。
12.
逐位比較，直到發現C與D不匹配。於是，移動位數 = 6 - 2，繼續將搜尋詞向後移動4位。
13.
逐位比較，直到搜尋詞的最後一位，發現完全匹配，於是搜尋完成。如果還要繼續搜尋（即找出全部匹配），移動位數 = 7 - 0，再將搜尋詞向後移動7位，這裡就不再重複了。
14.
下面介紹《部分匹配表》是如何產生的。
首先，要了解兩個概念："字首"和"字尾"。 "字首"指除了最後一個字元以外，一個字串的全部頭部組合；"字尾"指除了第一個字元以外，一個字串的全部尾部組合。
15.
"部分匹配值"就是"字首"和"字尾"的最長的共有元素的長度。以"ABCDABD"為例，
－ "A"的字首和字尾都為空集，共有元素的長度為0；
－ "AB"的字首為[A]，字尾為[B]，共有元素的長度為0；
－ "ABC"的字首為[A, AB]，字尾為[BC, C]，共有元素的長度0；
－ "ABCD"的字首為[A, AB, ABC]，字尾為[BCD, CD, D]，共有元素的長度為0；
－ "ABCDA"的字首為[A, AB, ABC, ABCD]，字尾為[BCDA, CDA, DA, A]，共有元素為"A"，長度為1；
－ "ABCDAB"的字首為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，字尾為[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素為"AB"，長度為2；
－ "ABCDABD"的字首為[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，字尾為[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的長度為0。
16.
"部分匹配"的實質是，有時候，字串頭部和尾部會有重複。比如，"ABCDAB"之中有兩個"AB"，那麼它的"部分匹配值"就是2（"AB"的長度）。搜尋詞移動的時候，第一個"AB"向後移動4位（字串長度-部分匹配值），就可以來到第二個"AB"的位置。
2.next陣列的求解思路
通過上文完全可以對kmp演算法的原理有個清晰的瞭解，那麼下一步就是程式設計實現了，其中最重要的就是如何根據待匹配的模版字串求出對應每一位的最大相同前後綴的長度。我先給出我的程式碼：
1 void makeNext(const char P[],int next[])
2 {
3 int q,k;//q:模版字串下標；k:最大前後綴長度
4 int m = strlen(P);//模版字串長度
5 next[0] = 0;//模版字串的第一個字元的最大前後綴長度為0
6 for (q = 1,k = 0; q < m; ++q)//for迴圈，從第二個字元開始，依次計算每一個字元對應的next值
7 {
8 while(k > 0 && P[q] != P[k])//遞迴的求出P[0]···P[q]的最大的相同的前後綴長度k
9 k = next[k-1]; //不理解沒關係看下面的分析，這個while迴圈是整段程式碼的精髓所在，確實不好理解
10 if (P[q] == P[k])//如果相等，那麼最大相同前後綴長度加1
11 {
12 k++;
13 }
14 next[q] = k;
15 }
16 }
現在我著重講解一下while迴圈所做的工作：
- 已知前一步計算時最大相同的前後綴長度為k（k>0），即P[0]···P[k-1]；
- 此時比較第k項P[k]與P[q],如圖1所示
- 如果P[K]等於P[q]，那麼很簡單跳出while迴圈;
- 關鍵！關鍵有木有！關鍵如果不等呢？？？那麼我們應該利用已經得到的next[0]···next[k-1]來求P[0]···P[k-1]這個子串中最大相同前後綴，可能有同學要問了——為什麼要求P[0]···P[k-1]的最大相同前後綴呢？？？是啊！為什麼呢？ 原因在於P[k]已經和P[q]失配了，而且P[q-k] ··· P[q-1]又與P[0] ···P[k-1]相同，看來P[0]···P[k-1]這麼長的子串是用不了了，那麼我要找個同樣也是P[0]打頭、P[k-1]結尾的子串即P[0]···P[j-1](j==next[k-1])，看看它的下一項P[j]是否能和P[q]匹配。如圖2所示
附程式碼：
1 #include<stdio.h>
2 #include<string.h>
3 void makeNext(const char P[],int next[])
4 {
5 int q,k;
6 int m = strlen(P);
7 next[0] = 0;
8 for (q = 1,k = 0; q < m; ++q)
9 {
10 while(k > 0 && P[q] != P[k])
11 k = next[k-1];
12 if (P[q] == P[k])
13 {
14 k++;
15 }
16 next[q] = k;
17 }
18 }
19
20 int kmp(const char T[],const char P[],int next[])
21 {
22 int n,m;
23 int i,q;
24 n = strlen(T);
25 m = strlen(P);
26 makeNext(P,next);
27 for (i = 0,q = 0; i < n; ++i)
28 {
29 while(q > 0 && P[q] != T[i])
30 q = next[q-1];
31 if (P[q] == T[i])
32 {
33 q++;
34 }
35 if (q == m)
36 {
37 printf("Pattern occurs with shift:%d\n",(i-m+1));
38 }
39 }
40 }
41
42 int main()
43 {
44 int i;
45 int next[20]={0};
46 char T[] = "ababxbababcadfdsss";
47 char P[] = "abcdabd";
48 printf("%s\n",T);
49 printf("%s\n",P );
50 // makeNext(P,next);
51 kmp(T,P,next);
52 for (i = 0; i < strlen(P); ++i)
53 {
54 printf("%d ",next[i]);
55 }
56 printf("\n");
57
58 return 0;
59 }