2. 程式人生 > >[HEOI2012]Akai的數學作業-題解

[HEOI2012]Akai的數學作業-題解

阿新 • • 發佈：2018-12-17

題目地址【IN】

  • 題意簡述

給你一個多項式方程，形式如下，求其所有的有理數解。

a0+a1x+a2x2+⋯+anxn=0a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=0

  • 暴力

我們發現輸出的是一個分子和分母互質的分數，所以我們列舉一下分子和分母，為了不超時，列舉大概300300不到，然後每次計算一下（用高精），大概能得到3030分。

  • 優化

我們由於用高精，複雜度比較高，所以我們考慮取模意義下，當我們多取幾個模數，在這幾個模數的意義下，算出來都是00，那麼也可以看作是答案，但是有一定錯的概率，當模數比較大且為質數時不容易錯，大概能拿30∼5030\sim 50

分。

  • 分析

我們可以將開始的式子轉換為分數形式，我們令x=pqx=\frac{p}{q}

那麼原式就可以寫成：

a0+a1(pq)+a2(pq)2+⋯+an(pq)n=0a_0+a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_2\left(\frac{p}{q}\right)^2+\cdots+a_n\left(\frac{p}{q}\right)^n = 0 a0+a1(pq)+a2(p2q2)+⋯+an(pnqn)=0a_0+a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_2\left(\frac{p^2}{q^2}\right)+\cdots+a_n\left(\frac{p^n}{q^n}\right) = 0

接下來我們等式兩端同時乘以qnq^n，那麼可以得到如下式子：

a0qn+a1pqn−1+a2p2qn−2+⋯+anpn=0a_0q^n+a_1pq^{n-1}+a_2p^2q^{n-2}+\cdots+a_np^n=0

我們將式子兩端同時模qq，那麼可以得到：

anpn≡0(modq)a_np^n\equiv0(\rm mod\ q)

我們可以得到qq肯定為ana_n的因子，即q∣anq|a_n。

我們再將原式兩端同時模p

p，那麼同樣可以得到：

a0qn≡0(modp)a_0q^n\equiv0(\rm mod\ p)

我們同樣可以的到pp肯定為a0a_0的因子，即p∣a0p|a_0

所以我們可得對於方程的解x=pqx=\frac{p}{q}，我們就得知了p∣a0p|a_0且q∣anq|a_n並且還要滿足(p,q)=1(p,q)=1（也就是題面要求的p,qp,q互質）。

  • 正解

有了上面的分析，我們就可以先預處理對於a0a_0和ana_n的因子，但是這裡有個問題就是如果a0=0a_0=0或者an=0a_n=0，那麼我們對於a0a_0就換成左邊第一個不為00的係數，a1a_1換成右邊第一個不為00的因子（由於係數是00，所以前面的都可以相當於沒有）。

然後我們可以列舉p,qp,q，由於2×1072\times 10^7的因子數最多為512512，所以我們可以直接5122512^2列舉。

對於判斷一個解pq\frac{p}{q}是否合法，我們可以取幾個模數，然後按照優化的暴力方式判斷一個解是否合法（其實有一個非常好的模數，只需這一個5003350033，就可以判斷了）。

然後對於每個列舉的pq\frac{p}{q}，由於有負數的解，所以我們還要對每個列舉的pq\frac{p}{q}去判斷−pq-\frac{p}{q}。

然後我們用一個結構體寫一個分數類，將答案存入，並重載小於排序，輸出答案即可。

下面上程式碼：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int Mod=50033;
const int N=1010,M=110;
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
int fpow(int a,int b){int ans=1;for(;b;b>>=1,a=(1ll*a*a)%Mod)if(b&1)ans=(1ll*ans*a)%Mod;return ans;}
int in1[N],in2[N],c1,c2;
int A[M],n;
void init(){
	int a=0,b=0;
	for(int i=0;i<=n;i++)if(A[i]){a=A[i];break;}
	for(int i=n;i>=0;i--)if(A[i]){b=A[i];break;}
	if(a<0)a=-a;if(b<0)b=-b;
	int t1=sqrt(a),t2=sqrt(b);
	for(int i=1;i<=t1;i++){
		if(!(a%i)){
			in1[++c1]=i;
			if(a/i!=i)in1[++c1]=a/i;
		}
	}
	sort(in1+1,in1+c1+1);
	for(int i=1;i<=t2;i++){
		if(!(b%i)){
			in2[++c2]=i;
			if(b/i!=i)in2[++c2]=b/i;
		}
	}
	sort(in2+1,in2+c2+1);
}
struct node{
	int fz,fm;
	node(){}
	node(int a,int b):fz(a),fm(b){}
	bool operator <(const node &a)const{
		if((!fz||!fm)||(!a.fz||!a.fm)){
			if((!fz||!fm)&&(!a.fz||!a.fm)) return 1;
			if((!fz||!fm))return 0<a.fz;
			if((!a.fz||!a.fm))return fz<0;
		}
		ll t1=1ll*fz*a.fm,t2=1ll*a.fz*fm;
		return t1<t2
            
  

           

              
              

            

            
相關推薦

			   
            
            
            
 

    


    
    
[HEOI2012]Akai的數學作業-題解

     
 
							
							
							題目地址【IN】

題意簡述

給你一個多項式方程，形式如下，求其所有的有理數解。
a0+a1x+a2x2+⋯+anxn=0a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n=0a0​+a1​x+a2​x2+⋯+an​xn=0


暴力

我們發現輸出的 



  
 

    


    
    
[BZOJ2742][HEOI2012]Akai的數學作業[推導]

     
 題意 
給定各項係數，求一元 \(n\) 次方程的有理數解。 
\(n\leq 100\)。 
分析 
 
 設答案為 \(\frac{p}{q}\) ,那麼多項式可以寫成 \(a_0\frac{p}{q}+a_1\frac{p^2}{q^2}+\cdots a_n\frac{p^n}{q^n}\) 的形式。 



  
 

    


    
    
codevs 2314 數學作業

     
 class   其中   block   amp   namespace   memset   int   tmp   oid   

2314 數學作業
 
2011年省隊選拔賽湖南




 時間限制: 1 s


 空間限制: 128000 KB


 題目等級 : 大師  



  
 

    


    
    
【bzoj 2326】【HNOI 2011】數學作業

     
 alt   cstring   div   ring   ima   void   bzoj   log   作業   
題解：
　　矩陣裸體。
　　

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cma 



  
 

    


    
    
bzoj 2326: [HNOI2011]數學作業

     
 pac   hid   images   ostream   scanf   stdin   efi   .com   數學   
solution
矩陣：
f：                         a：
                                   10^k    0   



  
 

    


    
    
[luogu P3216] [HNOI2011]數學作業

     
 show   lose   src   bit   cnblogs   mil   log   amp   我們   [luogu P3216] [HNOI2011]數學作業
題目描述
小 C 數學成績優異，於是老師給小 C 留了一道非常難的數學作業題：
給定正整數 N 和 M，要求計算 Concate 



  
 

    


    
    
洛谷P3216 [HNOI2011]數學作業

     
 nat   sans   ostream   play   希望   span   spa   cat   思路   洛谷P3216 [HNOI2011]數學作業
題目描述
小 C 數學成績優異，於是老師給小 C 留了一道非常難的數學作業題：
給定正整數 N 和 M，要求計算 Concatenate (1 . 



  
 

    


    
    
BZOJ2326: [HNOI2011]數學作業

     
 long long   包含   參考   problem   得到   n)   family   esp   gpo   【傳送門：BZOJ2326】

簡要題意：
　　給出n和m，要求計算Concatenate(1...n)%m的值，其中Concatenate(1...n)是將所有正整數1,2,& 



  
 

    


    
    
【bzoj】2326 [HNOI2011]數學作業

     
 gif   高位到低位   algo   space   n)   n+1   const   std   class   【題意】給定n和m，求1~n從高位到低位連接%m的結果。n=11時，ans=1234567891011%m。n<=10^18，m<=10^9。
【算法】遞推+矩陣快速冪
【題 



  
 

    


    
    
BZOJ5334：[TJOI2018]數學計算——題解

     
 stream   OS   輸出   訪問   logs   uri   getchar   getchar()   TP   https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5334

小豆現在有一個數x，初始值為1. 小豆有Q次操作，操作有兩種類型:  



  
 

    


    
    
BZOJ 2326 [HNOI2011]數學作業

     
 KS   sca   hnoi   tip   sizeof   優化   ++   cout   struct   這種題我都WA了一個小時我是不是沒救了
首先寫出遞推式$f[i]=f[i-1] \times 10^{len_{i}} + i $
然後按照\(len_{i}\)分層用矩陣乘法優化即可
#in 



  
 

    


    
    
P3216 [HNOI2011]數學作業 （矩陣快速冪）

     
 接下來   hnoi2011   輸入   matrix   spl   play   clu   快速冪   define   P2774 方格取數問題

題目背景
none!


題目描述
在一個有 m*n 個方格的棋盤中，每個方格中有一個正整數。現要從方格中取數，使任意 2 個數所在方格沒有公共邊，且取 



  
 

    


    
    
小學生最喜歡的數學作業

     
 需要   創建   是否   系統   作業   調試日誌   ==   一個   ade   ---恢復內容開始---
今天又是充滿希望的一天嘛？
一、預估與實際



PSP2.1
Personal Software Process Stages
預估耗時（分鐘）
實際耗時（分鐘）




Plannin 



  
 

    


    
    
只有計算機才能完成的小學數學作業

     
 記得在上個月，微博上有一則熱議得新聞：小學數學老師佈置作業，要求“數一億粒米”。 


 
 

 
網友大多數是以吐槽的態度去看待這件事，也有人指出能用估算的方法，這是一道考察發散思維的題目。 
一開始我也覺得這個題目很荒唐，似乎是不可能完成的任務。但這個細細想來值得玩味，我在思考一個問題：如果從計算機的角 



  
 

    


    
    
小明很喜歡數學,有一天他在做數學作業時,要求計算出9~16的和,他馬上就寫出了正確答案是100。現在把問題交給你,你能不能也很快的找出所有和為S的連續正數序列? Good Luck!

     
  
 
 /* 思路1： 
 1）由於我們要找的是和為S的連續正數序列，因此這個序列是個公差為1的等差數列，而這個序列的中間值代表了平均值的大小。 假設序列長度為n，那麼這個序列的中間值可以通過（S / n）得到，知道序列的中間值和長度，也就不難求出這段序列了。 
 2）滿足條件的n分兩種情況： n為奇數時， 



  
 

    


    
    
BZOJ 2326: [HNOI2011]數學作業(矩陣乘法)

     
 can   zoj   define   遞推   \n   problem   main   i++   std   傳送門
解題思路
　　NOIp前看到的一道題，當時想了很久沒想出來，NOIp後拿出來看竟然想出來了。註意到有遞推\(f[i]=f[i-1]*poww[i]+i\)，\(f[i]\)表示\(1 



  
 

    


    
    
洛谷3216 HNOI2011 數學作業（矩乘優化遞推）

     
  
  
  
 題目連結 
 首先我們考慮，正常的
     
      
       
        
         O
        
        
         (
        
        
         n
        
        
         )
 



  
 

    


    
    
luogu P3216 [HNOI2011]數學作業 矩陣快速冪

     
  
 
  
  
 題意 
  
  把
      
       
        
         
          1
         
         
          −
         
         
          n
         
        
     



  
 

    


    
    
【[HNOI2011]數學作業】

     
 我又對著跑出正解的程式調了好久 
怕不是眼瞎了 
這就是個分段矩陣，我們很容易就得到了遞推式 
$\(f[i]=f[i-1]*10^k+i\) 
其中\(k=log_{10}i\) 
於是就是分段矩陣 
 
之後就是程式碼了，沒有加快速乘WA了好久 
#include<iostream>
#inc 



  
 

    


    
    
[HNOI2011]數學作業 矩陣快速冪

     
  
 題目描述 
 小 C 數學成績優異，於是老師給小 C 留了一道非常難的數學作業題： 
 給定正整數 NNN 和 MMM ，要求計算Concatenate(1..N) Concatenate (1 .. N) Concatenate(1..N) ModModMod MMM 的值，其中 Concatenat