二叉樹（Binary Tree）

在瞭解二叉樹之前你需要了解如下內容：

1.樹（Tree）：是一種非線性資料結構（非線性資料結構包含樹和圖） ①樹的資料結構： 相關術語 a.根節點（root）：樹中沒有前驅的結點 注：一棵樹中只有一個根節點 b.葉子結點（leaf）：沒有後繼的結點 注：一棵樹中可有多個葉子結點 ②各結點之間的關係 a.雙親結點與子女結點  雙親結點是子女結點前驅，子女結點是雙親結點的後繼 注：Ⅰ.根節點無雙親，葉子節點無子女   Ⅱ.除根結點外剩餘所有結點向上只有一個雙親結點   Ⅲ.除葉子結點外剩餘所有結點向下可有（包含一個）多個子女結點 b.兄弟結點：同一個雙親結點的子女結點之間互稱兄弟結點 ③度

a.結點的度：一個結點的子女個數（葉子結點度為0） b.樹的度：樹中度值最大的結點的度（設樹的度為k（k>2)，則稱該樹為k叉樹） ④樹的深度：樹的層次數

對樹狀結構的特點的總結

1.有且只有一個結點無前驅（根結點） 2.可有多個結點無後繼（葉子結點） 3.除根結點，葉子結點外：其餘結點均只有一個雙親，但可以有（包含一個）多個子女結點

接下來，我們進入正題：二叉樹

1.定義：度值最大為2的樹

2.形態： 3.二叉樹的資料結構表示 ①二元組表示法 這種表示法需要包含兩方面內容：①樹中的結點成員②各結點成員之間的連線關係 首先，我們以Tree2為例：   Data={A,B,C,D}   Relation={<A,B>,<B,C>,<C,D>} 然後，我們試著來表示Tree1：   Data={A,B,C,D,E,F,G,H,I,J}   Relation={<A,B>,<A,C>,<B,D>,<B,E>,<C,F>,<D,G>,<E,H>,<E,I>,<F,J>}

②廣義表表示法：根節點（左子女，右子女） 仍然以Tree1為例： A(B,C) B(D,E) C(,F) D(G) E(H,I) F(J) 以上過程只是為了讀者更好的理解，接下來才是用廣義表表示法表示的結果：   A(B(D(G),E(H,I)),C(,F(J))) 注：當只有左結點時，逗號可被省去；但是當只有右結點時，逗號不可省，否則會被誤以為時左結點

以上這兩種方法通常用在文件中，實際更多情況中用畫圖更多一些

4.二叉樹的性質特點 a.任意一棵非空二叉樹的葉子結點總比雙分支結點多一個 證明：（證明過程中遵循的原則：結點總個數守恆） 因為在二叉樹中，共有三類雙親結點：①有0個子女結點的雙親結點（葉子結點）②有1個子女的雙親結點③有2個子女結點的雙親結點 設有0個子女結點的雙親結點的個數為n0,有1個子女結點的雙親結點的個數為n1，有2個子女結點的雙親結點的個數為n2 若把二叉樹中的所有結點都看作雙親結點，樹中的結點總數為：n2+n1+n0

若把二叉樹中的所有結點都看作子女結點，那麼子女結點可以分為根節點和除根結點外的所有結點（根節點和 其他結點的區別在於根結點沒有雙親結點，而其他結點都有雙親結點），所以其他結點的個數為n1+2*n2，則樹中的結點總數為n1+2*n2+1 又因為樹中的結點總數始終保持不變，所以：    n2+n1+n0=n1+2*n2+1 顯而易見可得： n0-n2=1   又因為n0表示子女結點個數為0的雙親結點的個數，即葉子結點的個數，而n2表示子女結點個數為2的雙親結點的個數，即雙分支結點的個數   所以任意一棵非空二叉樹的葉子結點總比雙分支結點多一個 b.總結點個數為n的二叉樹有n-1條邊 證明：現有一個根結點，要使二叉樹中結點總個數為n，則還需增加n-1個結點，又因為每新增加一個結點，二叉樹中就新增加1條邊，則增加n-1個結點，就增加了n-1條邊。所以總結點個數為n的二叉樹有n-1條邊

5.常見的幾種二叉樹 a.滿二叉樹   對二叉樹按層編號：0，1，2……   編號為i的層最多隻有2^i個結點（每層結點個數最大值）   若一棵h層的二叉樹的每一層的結點個數都達到最大值，則稱這棵二叉樹為滿二叉樹 b.完全二叉樹：一棵h層的完全二叉樹 特點：①前h-1層是滿的    ②最後一層連續缺失右邊的結點（注：這裡右邊的結點並不是右子女結點，而是相對於左邊的結點而言的） ③ 滿二叉樹是特殊的完全二叉樹： ④要麼只有一個單分支結點，要麼沒有： ⑤若結點總個數為奇數，單分支結點個數為0；若n為偶數，單分支結點個數為1 ⑥根據完全二叉樹的結點總個數來判斷該二叉樹的層數 設該完全二叉樹有h層，結點個數為n 則n滿足2^h-1-1<n<=2^h-1 即2^h-1<n+1<=2^h 假設該二叉樹的n=700，則2^10-1<700+1<=2¹⁰,顯而易見，h=10，該二叉樹有10層 c.理想平衡二叉樹（理想樹）   前h-1層是滿的，最後一層隨意擺放 結論：滿二叉樹是完全二叉樹的子集，完全二叉樹為理想二叉樹的子集 d.歪斜樹：結點偏向於左邊或右邊的樹

6.對任意一棵二叉樹按層從上到下，從左至右對結點進行編號（1，2，3，4，5……）  注意:對缺失的結點也要編號 則編號為i的結點若有左子女結點，那麼編號為2i；若有右子女結點，則編號為2i+1。  編號為i（i>1）的結點的雙親結點的編號為：[i/2] ([]表示對結果取整)

(。・∀・)ノ本節結束！！！