揹包問題

最近剛學了01揹包問題，但是聽老師講再加上以前自己看書看的，發現有很多地方很容易搞混，原理就是劃分找動態轉移方程，但是寫程式時會遇到困難，趁著今天有空，就特意整理一下01揹包問題。

動態規劃的基本思想： 動態規劃演算法通常用於求解具有某種最優性質的問題。即我們平常所說的最優子結構性質。動態規劃演算法與分治法類似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然後從這些子問題的解得到原問題的解。與分治法最大的區別是，適合於用動態規劃求解的問題，經分解得到子問題往往不是互相獨立的，即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的解的基礎上，進行進一步的求解。若用分治法來解這類問題，則分解得到的子問題數目太多，有些子問題被重複計算了很多次。如果我們能夠儲存已解決的子問題的答案，而在需要時再找出已求得的答案，這樣就可以避免大量的重複計算，節省時間。我們可以用一個表來記錄所有已解的子問題的答案。不管該子問題以後是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中。

問題描述：

給定N中物品和一個揹包。物品i的重量是Wi,其價值位Vi ，揹包的容量為C。問應該如何選擇裝入揹包的物品，使得轉入揹包的物品的總價值為最大？？

在選擇物品的時候，對每種物品i只有兩種選擇，即裝入揹包或不裝入揹包。不能講物品i裝入多次，也不能只裝入物品的一部分。因此，該問題被稱為0-1揹包問題。

問題分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)個物品中能夠裝入容量為就j(1<=j<=C)的揹包中的物品的最大價值，則可以得到如下的動態規劃函式:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   (a)  V(i,j)=V(i-1,j)    j<wi
 
  

      (b)  V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-wi)+vi) }   j>wi

(1)式表明：如果第i個物品的重量大於揹包的容量，則裝人前i個物品得到的最大價值和裝入前i-1個物品得到的最大價是相同的，即物品i不能裝入揹包。 (2)式表明：如果第i個物品的重量小於揹包的容量，則會有一下兩種情況：(a)如果第i個物品沒有裝入揹包，則揹包中物品價值就等於把前i-1個物品裝入容量為j的揹包中所取得的價值。(b)如果把第i個物品裝入揹包，則揹包物品的價值等於第i-1個物品裝入容量位j-wi 的揹包中的價值加上第i個物品的價值vi; 顯然，取二者中價值最大的作為把前i個物品裝入容量為j的揹包中的最優解。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int V[200][200];//前i個物品裝入容量為j的揹包中獲得的最大價值

int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
{
    int i,j;
    for(i=0; i<=n; i++)
        V[i][0]=0;
    for(j=0; j<=C; j++)
        V[0][j]=0;
    for(i=0; i<=n-1; i++)
        for(j=0; j<=C; j++)
            if(j<w[i])
                V[i][j]=V[i-1][j];
            else
                V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
    j=C;
    for(i=n-1; i>=0; i--)
    {
        if(V[i][j]>V[i-1][j])
        {
            x[i]=1;
            j=j-w[i];
        }
        else
            x[i]=0;
    }
    cout << "選中的物品時：" << endl;
    for(i=0; i<n; i++)
        cout << x[i];
    cout << endl;
    return V[n-1][C];

}

int main()
{
    int s;///獲得的最大價值
    int w[15];///物品的重量
    int v[15];///物品的價值
    int x[15];///物品的選取狀態
    int n,i;
    int C;///揹包最大容量
    cout << "請輸入揹包的最大容量：" << endl;
    cin >> C;

    cout << "請輸入物品數：" << endl;
    cin >> n;
    cout << "請分別輸入物品的重量：" << endl;
    for(i=0; i<n; i++)
        cin >> w[i];

    cout << "請分別輸入物品的價值：" << endl;
    for(i=0; i<n; i++)
        cin >> v[i];

    s=KnapSack(n,w,v,x,C);

    cout << "物品價值最大為：" << endl << s << endl;
}