以下解題過程都是由網際網路收集而來，並不保證正確，如有疑問可以留言討論

題目

令（X，Y）是隨機點，均勻地選自區域 $R=\left\{(x,y):|x|+|y|\leq1 \right\}$. a.畫出R. b.利用你畫出的草圖計算X和Y的邊際密度.注意積分割槽域 c.計算給定X時Y的條件密度

解題思路

a.畫出R.

b.利用你畫出的草圖計算X和Y的邊際密度.注意積分割槽域

X,Y在區域內均勻取點，說明在區域內是均勻分佈所以$f(x,y)=\frac{1}{R的面積}=\frac12$

$\begin{aligned} f_{X}(x)&=\int f(x,y)dy\\ &=\int \frac12dy \end{aligned}$ 確定積分上下限和積分割槽域 在$x\leq0$ 時,y=1+x 又由於關於x軸是對稱的所以原積分式可以確定為： $\begin{aligned} f_{X}(x)=2*\int_{0}^{1+x} \frac12dy=1+x \quad x\leq0 \end{aligned}$

c.計算給定X時Y的條件密度

$\begin{aligned} f_{X|Y}(x|y)&=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_Y{y}}=\frac{\frac12}{1-|y|}\\ &=\frac1{2-2|y|}\quad 1-|y|\leq x \leq 1+|y| \end{aligned}$ $\begin{aligned} f_{Y|X}(y|x)&=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_X{x}}=\frac{\frac12}{1-|x|}\\ &=\frac1{2-2|x|}\quad 1-|x|\leq y \leq 1+|x| \end{aligned}$