一 前言

1.可以解決的問題

　　　　I.如何計算角度

　　　　II.如何判斷前後

　　　　III.如何判斷逆時針還是順時針。

　　　　IV.如何判斷其他物體在目標物體左右。

　　　　V.如何計算平行四邊形面積

2.概述

　　　　主要概述了點乘，叉乘的實用例子，沒有講述什麼原理性的，偏向應用層。點乘叉乘數學原理性的東西比較“難記”，網上很多。實用舉例，網上算是比較少吧。故，來總結一番。

二 理論知識

1.點乘性質

 　　　　　　 a · b = |a|*|b| cosθ   

　　　　　　  a ·b = b·a

　　　　　　  結果是float型別

2.叉乘性質

　　　　　　   aXb = c,c⊥a，c⊥b。

　　　　　　   |aXb| = |a| |b| sinθ,

　　　　　　　a X b = -b X a

　　　　　　　叉乘的結果還是向量，且其模就是那兩個向量為邊的平行四邊形面積

3.性質總結

　　　　　　根據點乘，叉乘的公式得知，用到cos函式和sin函式，所以理解cos函式和sin函式很重要。

複習一下，我推薦使用根據函式影象理解。

　　點乘，cos函式

　　叉乘，sin函式

三.分析&理解

　    當然，這邊計算角度，直接可以用Vector.Angle(p1,p2) 就可以解決，但是返回角度範圍為（0,180）。

　　我們根據上述點乘叉乘，可以得出，點乘，叉乘都可以算出角度。

1.點乘 計算角度

　　         首先我們根據公式   a · b = |a|*|b| cosθ，θ∈（0,180）　 

　　　　　　I.在知道a,b均為單位向量的情況，則 cosθ = Mathf.Dot(a,b)這裡的θ角度跟Vector.Angle的返回的結果是一致的(0,180)，則cosθ最終返回的也只是 （-1,1）之間.

　　　　　　II.繼續得出 θ =arcCos(Mathf.Dot(a,b)) ---------注意這個θ是弧度值，弧度制就類似π/2, 90度。

　　　　　　III.我們的目的是得出角度，則 angle = θ * Mathf.Rad2Deg     ----------注意：Mathf.Rad2Deg即為 180/π，與之相乘則弧度轉角度；  注意區分Mathf.Deg2Rad 為π/180,角度轉弧度，Deg即Degree，角度的意思。　

  　　　 float cosAngle = Vector3.Dot(p1.normalized, p2.normalized);
        float angleDot = Mathf.Acos(cosAngle)*Mathf.Rad2Deg;
        float angleVector = Vector3.Angle(p1, p2);

        Debug.Log("angleDot:" + angleDot);
        Debug.Log("angleVector:" + angleVector);

　　    由上述對比，完全與Vector.Angle一致，結果都是0,180範圍。

2.點乘計算背向還是面向　　　

　　　　根據上述1中結果，可以使用其判斷是面向還是背向，點乘結果>0, θ∈0，,90）則面向；

點乘結果>0,θ∈90,180，則背向。

3.叉乘計算角度

　　　　我們根據公式 |aXb| = |a|*|b|*sin<θ>

　　　　　I.當然，我們只需要計算角度，還是需要轉為單位向量計算最為方便，得出|aXb| = sin<θ>

　　　　　II.則得出，θ = ARCSin（|aXb|）, (Mathf.Magnitude，這是求向量長度）

　　　　　III.因為上述得出的是弧度制，依然 則 angle = Mathf.arcSin(|aXb|) *Mathf.Rad2Deg　　　

 　    Vector3 corssResult = Vector3.Cross(p1.normalized, p2.normalized);
　　　　float angleCross = Mathf.Asin(Vector3.Magnitude(corssResult)) * Mathf.Rad2Deg;
　　　　Debug.Log("angleCross:" + angleCross);
　　　　Debug.Log("angleVector:" + angleVector);

由上述對比得出angleCross 範圍在（0,90）,即兩個向量間的延伸交叉最小的夾角，這個真的有點出乎意料，需要自己注意一下。

這個應用啥吶，應用“兩個向量不考慮方向的情況之間誰更緊密”吧。

4.如何判斷逆時針還是順時針

　　（因為根據1 點乘中得出的角度，範圍都只是0,180，並還不能清楚知道兩個向量的具體方位，所以還缺個順時針還是逆時針。）

　　 我們可以根據叉乘的性質 a X b  = - b X a ，可以根據叉乘的正負值，來判斷a,b的相對位置，即b是出於a的順時針還是逆時針。

這裡需要注意“叉乘的正負值”：注意順時針，逆時針的概念，是在2d空間中判斷，所以需要指定兩個維度，一般在x，y螢幕上，則判斷z軸上的正負，即為“叉乘的正負值”。　　　

        Vector3 resultCross = Vector3.Cross(p1, p2);
        //在指定x，y平面則判斷z軸正負,為正，則p2在p1順時針，為負，則p2在p1逆時針。
        Debug.Log("p1:"+p1+" p2:"+p2 +"resultCross.z:" + resultCross.z);

5.如何判斷物體在左邊還是右邊

　　其實判斷在左邊還是在右邊，理論與4相似，只是需要稍微加工一下。假設p1為目標點，p2判斷是在p1的左邊還是右邊。

見圖:

         //因為我們是在xy平面上,所以判斷z軸
        var crossResult = Vector3.Cross(Vector3.up,p2-p1).z;
        //Vector3.Cross(trans1.up, trans2.position - trans1.position).z; //transform的寫法
        Debug.Log("crossResult:" + crossResult);

crossResult 為正則在其左邊，為負則在其右邊。也4中順時針，逆時針一個道理，只不過對比的是物體的正前方的向量。

注意如果為0，則是物體正前方，或者正後方；判斷正後方還是正前方參考2中用法。

6.如何計算出兩向量組成的平行四邊形面積

　　　　根據平行四邊形公式  S=a*h，h為高，a為底。

　　　　a = |p1|

　　　　又因為h = |p2|*sinθ，則 a* h = |p1|*|p2|*sinθ

　　　　即 |p1Xp2| = S

　　　　   float s = Vector3.Magnitude(resultCross);　　　

 四 總結

　　　　上述基本涵蓋了遊戲中的點乘叉乘的所有用法，都是自己敲一遍論證後的結果，當然，還需要你自己敲一遍,如有講述錯誤，歡迎指正。

哎，這是2018年唯一一篇比較原創花心思的部落格，不能這樣啦，部落格要堅持寫，程式碼要親自敲啊。