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題目

假設通訊網路中的節點具有這樣的性質，如果兩個資訊包到達的時間間隔小於τ, 它們就會發生衝突，必須重新傳送，如果兩個包到達的時間相互獨立，且服務[0,T]上的均勻分佈 a.問它們衝突的概率是多少 b.兩個包到達時間間隔的概率密度是什麼？

解題思路

a.問它們衝突的概率是多少

例題中已經給出答案：1-（1-τ/T)²

b.兩個包到達時間間隔的概率密度是什麼

$F_{T}^{'}(τ)=P(Τ<τ)=1-（1-τ/T)^2$

$\begin{aligned} f(τ)&=\int_{-\infty}^{\infty}f_{T_{1}}(t_1)*f_{T_2}(t_2-z)dx\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{T^2}dx\\ 當-T<z<0\\ &=\int_{0}^{z+T} \frac1{T^2}dx\\ &=\frac{z+T}{T^2}\\ 當0<z<T\\ &=\int_{z}^{T} \frac1{T^2}dx\\ &=\frac{T-z}{T^2}\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} f(τ)=\frac{2T-2τ}{T^2}=\frac{2}{T}-\frac{2τ}{T^2} \end{aligned}$

下圖為T=5時用100000個隨機變數模擬的間隔值的分佈