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題意簡述

有 $T$次詢問，每次給定 $n,m$，求下面式子的值：
$\underset{}{\overset{}{\sum }}$

$n,m\leq 10^5$，輸出答案在 $\mod 998244353$意義下的值。

分析：

我們先要將 $\varphi(ij)$拆開，根據定義式：
$\varphi(n)=n\prod_{p|n}\frac{p-1}{p}\\ 其中p為n的不同的質數因子$

那麼我們看 $\varphi(i)\varphi(j)$就為：

$i\prod_{p|i}\frac{p-1}{p}\cdot j\prod_{q|j}\frac{q-1}{q}$

我們將 $ij$放在一起可以發現：

$ij\prod_{p|i}\frac{p-1}{p}\prod_{q|j}\frac{q-1}{q}$

而 $i,j$的質因子可以看成屬於 $i\times j$的所有質因子，而既屬於 $i$又屬於 $j$的，也就是屬於 $gcd(i,j)$的質因子會被算兩次，所以，原式可以轉化為：

$ij\prod_{p|ij}\frac{p-1}{p}\prod_{q|gcd(i,j)}\frac{q-1}{q}$

那麼，我們將原等式兩端同時乘以一個 $gcd(i,j)$可以得到：

$\varphi(i)\varphi(j)gcd(i,j)=ij\prod_{p|ij}\frac{p-1}{p}gcd(i,j)\prod_{q|gcd(i,j)}\frac{q-1}{q}$

我們將其替換為 $\varphi(ij)$和 $\varphi(gcd(i,j))$，就可以得到：

$\varphi(i)\varphi(j)gcd(i,j)=\varphi(ij)\varphi(gcd(i,j))\\ \varphi(ij)=\frac{\varphi(i)\varphi(j)gcd(i,j)}{\varphi(gcd(i,j))}$

所以我們可以將原式拆開，轉化成求：

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\frac{\varphi(i)\varphi(j)gcd(i,j)}{\varphi(gcd(i,j))}$