直接法解線性方程組-高斯消元法

1.高斯消元法思想

設有線性方程組如下所示：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn, $\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\vdots\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n},\end{cases}$

或者寫成矩陣形式如下所示

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢a11a21⋮a1na12a22⋮a2n⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢b1b2⋮bn⎤⎦⎥⎥⎥⎥ $\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots\\x_{n}\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots\\b_{n}\\\end{matrix}\right]$

將此方程簡記為 $Ax=b$
高斯消元法解線性方程組的基本思想是用逐次消去未知數的方法把原線性方程組 $Ax=b$ 化為與其等價的三角形線性方程組，而求解三角形線性方程組可用回代的方法求解。

2.列主元高斯消元法的原理

由於直接高斯消元法往往因為主元 $a^{(k)}_{kk}$ 過小，會導致乘數 $m_{ik}=a^{(k)}_{ik}/a^{(k)}_{kk}$ 損失較多位有效數字，比如用直接高斯消元法求解下面的線性方程組：

⎡

⎣⎢0.001−1.000−2.0002.0003.7121.0723.0004.6235.643⎤⎦⎥ ⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢1.0002.0003.000⎤⎦⎥ $\left[\begin{matrix} 0.001 & 2.000 & 3.000 \\ -1.000 & 3.712 & 4.623 \\ -2.000 & 1.072 & 5.643 \\\end{matrix}\right]\ \left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 1.000 \\ 2.000 \\ 3.000 \\\end{matrix}\right]$ .
該矩陣的的準確解為：

x∗=(−0.4904,−0.05104,0.3675)T $x^{*}=\left(\begin{matrix} -0.4904, -0.05104, 0.3675\end{matrix}\right)^T$
若用直接高斯消元法求解該方程組，則得到的解為：

x¯=(−0.400,−0.09980,0.4000)T $\overline{x}=\left(\begin{matrix} -0.400, -0.09980, 0.4000\end{matrix}\right)^T$
可見該結果跟實際值相差還是很大的，所以需要改進演算法，下面引入列主元消去法，若我們在進行高斯消元法時，將主元選取為該列的最大元素，即該矩陣為：

⎡⎣⎢−2.000−1.0000.0011.0723.7122.0005.6434.6233.000⎤⎦⎥⎡⎣⎢x1x2x3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢3.0002.0001.000⎤⎦⎥ $\left[\begin{matrix} -2.000 & 1.072 & 5.643 \\ -1.000 & 3.712 & 4.623 \\ 0.001 & 2.000 & 3.000 \\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 3.000 \\ 2.000 \\ 1.000 \\\end{matrix}\right]$
用這種選取主元的方法可以求得解為：

x¯=(−0.4900,−0.05113,0.3678)T≈x∗ $\overline{x}=\left(\begin{matrix} -0.4900, -0.05113, 0.3678\end{matrix}\right)^T\approx x^{*}$
用這種方法求得的結果比較接近於實際值。

3.列主元消去法演算法

1. $det\leftarrow1$
2.對於 $k=1,2,\cdots,n-1$
(1)按列選主元

|aik,k|=maxk≤i≤n|aik| $|a_{i_{k},k}|={max}_{k\leq i \leq n}|a_{ik}|$

4.MATLAB列主元消去法的實現

因為直接高斯消元法容易因為主元過小，而導致誤差很大，所以在一般求解的時候採用列主元消去法改進高斯消元法，具體實現的程式碼如下所示:

function [ x ] = Gauss_solve( A,b )
    n = size(A,1);
    x = zeros(n,1);
    %尋找當前列的絕對值最大的元素
    for k = 1:n-1
        Max = abs(A(k,k));
        MaxIndex = k;
        for u = k+1:n
            if(abs(A(u,k)) > Max)
                MaxIndex = u;
                Max = abs(A(u,k));
            end
        end

        %交換增廣矩陣相應的行和列
        temp = A(MaxIndex,:);
        A(MaxIndex,:) = A(k,:);
        A(k,:) = temp;

        bt = b(MaxIndex);
        b(MaxIndex) = b(k);
        b(k) = bt;

        %判斷順序餘子式是否為0，若是則方程無法用Gauss求解
        Det = A(1:k,1:k);
        if(Det==0)
            error('This matrix can''t be solved by Gauss algorithm');
        end

        %Gauss消元法的消元計算
        for i = k+1:n
            Mik = A(i,k)/A(k,k);
            b(i) = b(i) - Mik*b(k);
            for j 
 
              
           
              
              
            
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    高斯消元法原理與Matlab實現
       
  
  
 直接法解線性方程組-高斯消元法 
 1.高斯消元法思想 
 設有線性方程組如下所示： 
 
 
  
   
    ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn,
   
 
  

  
 

    

    
    【算法設計與分析基礎】16、高斯消元法
      ane   sys   cnblogs   根據   gauss   tostring   logs   junit   air   
package cn.xf.algorithm.ch06ChangeRule;

import java.util.ArrayList;
import java.util.L 

  
 

    

    
    列選主元的高斯消元法的Fortran程序
      scrip   element   final   ...   博客   hang   then   ogr   side   要用到之前發的解上三角矩陣和下三角矩陣方程的模塊tri_eq.f90。
博客園代碼不支持fortran格式。。。

  1 module lina_gauss
  2 !------ 

  
 

    

    
    【模板】高斯消元法
      fabs   oid   return   高斯消元法   get   ace   com   blank   put   傳送門
 
關於高斯消元的具體過程
詳見百度經驗
 
模板

#include <cmath>
#include <cstdio>
#inclu 

  
 

    

    
    [Luogu 3389]【模板】高斯消元法
      code   wke   using   整數   mat   inner   math   ews   vpd   Description
給定一個線性方程組，對其求解
Input
第一行，一個正整數 n 
第二至 n+1 行，每行 n+1 個整數，為a1,a2?an和 b，代表一組方程。1??,a 

  
 

    

    
    高斯消元法
      scanf   string   tac   最大   span   cstring   方程   vector   tdi   高斯消元法。直接附代碼了，這個代碼沒有回帶的。

 1 //Writer : Hsz %WJMZBMR%tourist%hzwer
 2 #include<iostream& 

  
 

    

    
    P3389 【模板】高斯消元法
      高斯消元   方程   clu   wap   n)   cpp   移動   urn   tdi   刷模板多好啊，不用動腦。。。

新學習了高斯消元。
其實高斯消元就是把我們小學就學過的解方程組用程序語言表達出來了而已。
小學學的東西有加減法，代入法。我們這裏都會用到。
但是也挺難記的
給你三個形如ax+ 

  
 

    

    
    js高斯消元法解決n元一次方程組--算等額分期
      fine   計算   calc   賦值   行合並   change   amp   block   有效   importClass(java.text.DecimalFormat);let df = new DecimalFormat("0.##");  
/*** 

增廣矩陣機 

  
 

    

    
    「LuoguP3389」【模板】高斯消元法
      題目背景 
Gauss消元 
題目描述 
給定一個線性方程組，對其求解 
輸入輸出格式 
輸入格式： 
  
第一行，一個正整數 nn 
第二至 n+1n+1行，每行 n+1n+1 個整數，為a_1, a_2 \cdots a_na1,a2⋯an&nbs 

  
 

    

    
    順序高斯消元法（Python實現）
      main   python實現   ber   seq   rev   div   順序   inf   break   
# coding: utf8
import numpy as np


# 設置矩陣
def getInput():
    matrix_a = np.mat([[2, 3, 11,  

  
 

    

    
    計算方法——C語言實現——全主元高斯消元法求解非線性方程
      
							
							
							最近在上計算方法這門課，要求是用MATLAB做練習題，但是我覺得C語言也很棒棒啊~
題目：

高斯消元法是線性方程組的直接解法，可能會造成很大的失真，尤其是高斯順序消元法，對方法進行改進，使每次都選取絕對值最大的元素為主元，使其為乘數的分母，控制舍入誤差的擴大， 

  
 

    

    
    #高斯消元法#bzoj 1013 洛谷 4035 球形空間產生器
       
 
  
  
 題目 
 給定n+1個點，問與這些點距離相等的點的座標 
  
 分析 
 那麼這道題也就是問如何使
      
       
        
         
          
           ∑
          
          
           
  

  
 

    

    
    高斯消元法求解線性方程組（分數精確表示）
       
 
 
 原理可以參考 
 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%96%AF%E6%B6%88%E5%8E%BB%E6%B3%95 
 這裡給出使用分數表示計算過程的高斯消元法寫法 
 github地址：https://github.com/YIWANFEN 

  
 

    

    
    高斯消元法（三）：用Python簡單實現順序消元法
      
                
# coding:utf-8

import numpy as np
import sys

# 設定矩陣
def set_matrix():
    # 設定係數矩陣A
    matrix_a =np.mat([
        [2.0, 1.0, 2.0],
    

  
 

    

    
    P3389 【模板】高斯消元法（模板，高斯消元法）
      
								
								            
							
							
							

思路：沒學線代的可以去學一下，很簡單的。 
直接看落谷的解析吧，感覺很好了。

程式碼：



#include<cstdio>
#include<cmath>

const 

  
 

    

    
    高斯消元法解01異或方程組（附poj 1222題解）
      
                
const int maxn=50;
//有equ個方程，var個變元。增廣矩陣行數為equ，列數為var+1
int equ,var;
int a[maxn][maxn]; //增廣矩陣
int x[maxn];  //解集
int free_x[maxn];
int f 

  
 

    

    
    python 實現高斯消元法
      
								
								            
						
                步驟1 檢查A，b是否行數相同步驟2 構造增廣矩陣Ab步驟3 逐列轉換Ab為化簡行階梯形矩陣 中文維基連結對於Ab的每一列（最後一列除外）
    當前列為列c
    尋找列c中 對角線以及對角線以下 

  
 

    

    
    高斯消元法——求解線性方程組
      
							
							
							學習了《挑程》中的高斯消元法，它是求解最基礎的線性方程組（未知數個數和方程個數相等，並且有唯一解）的演算法。

首先舉一個例子：求解如下方程組： 
⎧⎩⎨x−2y+3z=6..........①4x−5y+6z=12.......②7x−8y+10z=21... 

  
 

    

    
    用高斯消元法求解線性方程組
      con   sta   eat   sed   高斯   sso   一個   ids   row   線性方程組問題可以利用矩陣變換求解。利用高斯消元法，將矩陣轉換成一個行階梯矩陣，最後得到一個簡化行階梯矩陣，就是方程的解。參考資料（高斯消元法）
Java代碼
public class Function 

  
 

    

    
    Python計算——高斯消元法解線性方程組
      
                
#!/usr/bin/env python
# coding=gb2312


# 以上的資訊隨自己的需要改動吧
def print_matrix( info, m ): # 輸出矩陣
    i = 0; j = 0; l = len(m)
    print info