《劍指offer》裡講到了一種斐波那契數列的 O(logN) 時間複雜度的實現，覺得挺有意思的，三種方法都記錄一下。

一、遞迴

    一般來說遞迴實現的程式碼都要比迴圈要簡潔，但是效率不高，比如遞迴計算斐波那契數列第n個元素。

long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
    // printf("%d ", n);
    if (n <= 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}
 

    如果計算數列的第4個位置上（從0開始）的數（0 1 1 2 3），也就是3，上邊的 printf 輸出應該是 4 3 2 1 0 1 2 1 0，這是因為計算 F(4) 要計算 F(3) 和 F(2)，而計算 F(3) 的時候又要計算 F(2) 和 F(1)，所以會有很多重複計算。用下圖可以更好地說明。

    遞迴雖然有簡潔的優點，但它同時也有顯著地缺點。遞迴由於是函式呼叫自身，而函式呼叫是有空間和時間的消耗的：每一次函式呼叫，都需要在記憶體棧中分配空間以儲存引數、返回地址及臨時變數，而且往棧裡壓入資料和彈出資料都需要時間。

    而且除了效率問題之外，遞迴可能引起 呼叫棧溢位

二、迴圈

    最常規的正確做法就是用迴圈從小到大計算。

long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)
{
    if (n <= 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    long long  fib1 = 1, fib0 = 0, fibN = 0;
    for (unsigned int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        fibN = fib1 + fib0;
        fib0 = fib1;
        fib1 = fibN;
    }
    return fibN;
}
 

    或者下邊這種

long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)
{
    if (n <= 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    long long a = 0, b = 1;
    for (unsigned int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        b = a + b;
        a = b - a;
    }
    return b;
}

三、矩陣

    數中提到了一種 O(logN) 時間複雜度的演算法，就是利用數學公式計算。

    首先需要知道下邊這個數學公式：

     這個公式用數學歸納法可以證明，所以只需要計算右邊矩陣的 n-1 次方就能得到 f(n)，現在問題就變成了計算 2x2 矩陣的 n-1 次方，這樣做 n-2 次乘法就可以了，時間複雜度還是 O(N)，但是還可以加速，如下式：

     所以我們可以看出，想求 n 次方可以求出 n / 2 次方再平方，所以時間複雜度可以將為 O(logN)。

struct Matrix2By2
{
    Matrix2By2(long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0,	long long m11 = 0)
        :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) {}
    long long m_00, m_01, m_10, m_11;
};

Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2)
{
    return Matrix2By2(  matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
                        matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
                        matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
                        matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11    );
}

Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
    assert(n > 0);
    Matrix2By2 matrix;
    if (n == 1)
        matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
    else if (n % 2 == 0)	// n是偶數
    {
        matrix = MatrixPower(n / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
    }
    else if (n % 2 == 1)	// n是奇數
    {
        matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
        matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
    }
    return matrix;
}

long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
    if (n <= 0) return 0;
    if (n == 1) return 1;
    Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
    return PowerNMinus2.m_00;
}

    為了測試上邊三種方式的程式碼的正確性，可以用如下樣例來測試。

// ====================測試程式碼====================
void Test(int n, int expected)
{
    if (Fibonacci_Solution1(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution1 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution1 failed.\n", n);

    if (Fibonacci_Solution2(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution2 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution2 failed.\n", n);

    if (Fibonacci_Solution3(n) == expected)
        printf("Test for %d in solution3 passed.\n", n);
    else
        printf("Test for %d in solution3 failed.\n", n);
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    Test(0, 0);
    Test(1, 1);
    Test(2, 1);
    Test(3, 2);
    Test(4, 3);
    Test(5, 5);
    Test(6, 8);
    Test(7, 13);
    Test(8, 21);
    Test(9, 34);
    Test(10, 55);
    Test(40, 102334155);
    return 0;
}