先思考一個問題:

• 在K維空間裡面有許多的點，對於某些給定的點，我們需要找到和它最近的m個點。
• 這裡的距離指的是歐幾里得距離：
• D(p,q)=D(q,p)=sqrt((q1-p1)^2+(q2-p2)^2+(q3-p3)^2+...+ (qn-pn)^2)，請你幫忙解決一下。

       輸入：

• 點數n(1≤n≤50000)和維度數k(1≤k≤5)。
• 接下來的n行，每行k個整數，代表一個點的座標。
•  接下來一個正整數：給定的詢問數量t(1≤t≤10000)
• 下面2*t行：
• 第一行k個整數，表示要查詢的點的座標
• 第二行一個整數m，表示查詢最近的m個點(1≤m≤10)
•  所有座標的絕對值不超過10000。
• 有多組資料！

　　輸出：

• 對於每個詢問，輸出m+1行：
• 第一行："the closest m points are:" m為查詢中的m
•  接下來m行每行代表一個點，按照從近到遠排序。
•  保證方案唯一，下面這種情況不會出現：
• 2 2
• 1 1
• 3 3
• 1
• 2 2
• 1

我們知道在二維的情況下我們可以用樹狀陣列來解決（亂搞）。但此時題目中給出了一個會變化的維度，再用樹狀陣列就會提高大量的思維難度（反正我是想象不出5維空間的），

此時我們就需要一種對應多維度的資料結構——KD樹。

1.  KD樹的定義：

　　Kd-樹是K-dimension tree的縮寫，是對資料點在k維空間（如二維(x，y)，三維(x，y，z)，k維(x1，y，z..)）中劃分的一種資料結構，主要應用於多維空間關鍵資料的搜尋（如：範圍搜尋和最近鄰搜尋）。本質上說，Kd-樹就是一種平衡二叉樹。

    　首先必須搞清楚的是，k-d樹是一種空間劃分樹，說白了，就是把整個空間劃分為特定的幾個部分，然後在特定空間的部分內進行相關搜尋操作。想像一個三維(多維有點為難我的想象力了)空間，kd樹按照一定的劃分規則把這個三維空間劃分了多個空間，如下圖：

　更加易懂的說法是KD樹實際上就是多關鍵字搜尋

 2. KD樹的構建

KD樹與線段樹的構建相似，需要動態遞迴建立

void build(int &k,int l,int r,int dir)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    k=mid;D=dir;
    nth_element(a+l,a+mid,a+r+1,cmp);
    for(int i=0;i<K;i++)
        a[k].mi[i]=a[k].mx[i]=a[k].d[i];
    if(l<mid)build(a[k].l,l,mid-1,(dir+1)%K);
    if(r>mid)build(a[k].r,mid+1,r,(dir+1)%K);
    pushup(k);
}    

　　3.KD樹的插入

　　雖然此題不用插入但我們還是要學的啊

void insert(int k,int dir)
{
    if (q[dir]<a[k].d[dir])
    {
        if (a[k].l) insert(a[k].l,（dir+1）%d);
        else
        {
            a[k].l=++n;
            for(int i=0;i<K;i++)
                a[n].mi[i]=a[n].mx[i]=a[n].d[i]=q[i];
        }
    }
    else
    {
        if (a[k].r) insert(a[k].r,（dir+1）%d);
        else
        {
            a[k].r=++n;
              for(int i=0;i<K;i++)
                a[n].mi[i]=a[n].mx[i]=a[n].d[i]=q[i];
        }
    }
    pushup(k);//同時向上維護
}       

　　雖然一棵剛建好的KD樹深度是O(log)的。但隨便亂插會對時間有巨大的負擔很容易TLE。所以我們可以用替罪羊樹優化……因為博主太弱還不會（QAQ）所以請同學們自己去學習吧（學會了記得回來給我講講啊）！

　　4.KD樹的查詢

　　KD樹的關鍵。還記得我們維護的mi[]和mx[]，現在我們要用它來做估計了。我們都知道估計可以省下大量的計算，所以這也是KD樹獨特的地方。但我們的答案不能是估計啊！所以精確的也不能少（QAQ）

long long Guess(int k) //估算與k點的距離值
{ 
    long long i,s=0;
    for(i=0;i<K;i++)
    {
        if(q[i]<a[k].mi[i])s+=(long long)(q[i]-a[k].mi[i])*(q[i]-a[k].mi[i]);
        if(q[i]>a[k].mx[i])s+=(long long)(q[i]-a[k].mx[i])*(q[i]-a[k].mx[i]);
    }
    return s;
}

long long Dis(int k) //求查詢點與k點的距離值
{ 
    long long i,ans=0;
    for(i=0;i<K;i++)ans+=(long long)(q[i]-a[k].d[i])*(q[i]-a[k].d[i]);
    return ans;
}

void Query(int x) 
{ 
    if(!x)return; 
    long long dis=Dis(x),dl=Guess(a[x].l),dr=Guess(a[x].r); 
    if(dis<Q.top().first)//為本題需要而建的大根堆
    {
        Q.pop();
        Q.push(make_pair(dis,x));
    }
     if(dl<dr)
    { 
         if(dl<Q.top().first)Query(a[x].l); 
         if(dr<Q.top().first)Query(a[x].r); 
     } 
    else
    { 
        if(dr<Q.top().first)Query(a[x].r);
          if(dl<Q.top().first)Query(a[x].l);
    } 
}

原題程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3
using namespace std;
typedef pair<long long,int>pii; 
priority_queue<pii>Q; 
struct data{int d[6],mx[6],mi[6],l,r;}a[100005<<1]; 
int q[6],i,j,k,m,n,rt,D,K,t; 
bool cmp(data x,data y){return x.d[D]<y.d[D];} 
void pushup(int x)
{ 
    int i,ls=a[x].l,rs=a[x].r; 
    for(i=0;i<K;i++) 
    {
    if(ls) 
        { 
            a[x].mx[i]=max(a[x].mx[i],a[ls].mx[i]); 
            a[x].mi[i]=min(a[x].mi[i],a[ls].mi[i]); 
        }
    if(rs) 
        { 
            a[x].mx[i]=max(a[x].mx[i],a[rs].mx[i]); 
            a[x].mi[i]=min(a[x].mi[i],a[rs].mi[i]); 
        } 
    } 
}
void build(int &k,int l,int r,int dir)
{
    int mid=(l+r)>>1;
    k=mid;D=dir;
    nth_element(a+l,a+mid,a+r+1,cmp);
    for(int i=0;i<K;i++)
        a[k].mi[i]=a[k].mx[i]=a[k].d[i];
    if(l<mid)build(a[k].l,l,mid-1,(dir+1)%K);
    if(r>mid)build(a[k].r,mid+1,r,(dir+1)%K);
    pushup(k);
}    
long long Guess(int x) //估算與x點的距離值
{ 
    long long i,s=0;
    for(i=0;i<K;i++)
    {
        if(q[i]<a[x].mi[i])s+=(long long)(q[i]-a[x].mi[i])*(q[i]-a[x].mi[i]);
        if(q[i]>a[x].mx[i])s+=(long long)(q[i]-a[x].mx[i])*(q[i]-a[x].mx[i]);
    }
    return s;
}
long long Dis(int x) //求查詢點與x點的距離值
{ 
    long long i,ans=0;
    for(i=0;i<K;i++)ans+=(long long)(q[i]-a[x].d[i])*(q[i]-a[x].d[i]);
    return ans;
}
void Query(int x) 
{ 
    if(!x)return; 
    long long dis=Dis(x),dl=Guess(a[x].l),dr=Guess(a[x].r); 
    if(dis<Q.top().first)
    {
        Q.pop();
        Q.push(make_pair(dis,x));
    }
     if(dl<dr)
    { 
         if(dl<Q.top().first)Query(a[x].l); 
         if(dr<Q.top().first)Query(a[x].r); 
     } 
    else
    { 
        if(dr<Q.top().first)Query(a[x].r);
          if(dl<Q.top().first)Query(a[x].l);
    } 
}
void print() //從小到大輸出m個點
{ 
    int i,x;
    while(!Q.empty())
    {
        x=Q.top().second;Q.pop();
        print();
        for(i=0;i<K;i++)printf("%d ",a[x].d[i]);
        printf("\n");
    }
}
int main() 
{ 
    while(scanf("%d%d",&n,&K)!=EOF) 
    { 
        memset(a,0,sizeof(a)); 
        while(!Q.empty())Q.pop();//清空堆
        for(i=1;i<=n;i++) //讀入n個點的座標 
            for(j=0;j<K;j++)
                scanf("%d",&a[i].d[j]); 
        build(rt,1,n,0);
        scanf("%d",&t); //建立KD樹 scanf("%d",&t); 
        for(i=1;i<=t;i++) //t組詢問 
        { 
            for(j=0;j<K;j++)scanf("%d",&q[j]);//讀入查詢點的座標 
            scanf("%d",&m); 
            for(j=1;j<=m;j++)Q.push(make_pair(INF,0));//把k個INF加入大根堆 
            Query(rt); 
            printf("the closest %d points are:\n",m); 
            print(); 
        } 
    }
    return 0; 
}