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白話經典算法系列之七 堆與堆排序

 堆排序快速排序歸併排序一樣都是時間複雜度為O(N*logN)的幾種常見排序方法。學習堆排序前,先講解下什麼是資料結構中的二叉堆。

二叉堆的定義

二叉堆是完全二叉樹或者是近似完全二叉樹。

二叉堆滿足二個特性:

1.父結點的鍵值總是大於或等於(小於或等於)任何一個子節點的鍵值。

2.每個結點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆(都是最大堆或最小堆)。

當父結點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時為最大堆。當父結點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時為最小堆。下圖展示一個最小堆:

由於其它幾種堆(二項式堆,斐波納契堆等)用的較少,一般將二叉堆就簡稱為堆。

堆的儲存

一般都用陣列來表示堆,i結點的父結點下標就為(i – 1) / 2。它的左右子結點下標分別為2 * i + 1和2 * i + 2。如第0個結點左右子結點下標分別為1和2。

堆的操作——插入刪除

下面先給出《資料結構C++語言描述》中最小堆的建立插入刪除的圖解,再給出本人的實現程式碼,最好是先看明白圖後再去看程式碼。

堆的插入

每次插入都是將新資料放在陣列最後。可以發現從這個新資料的父結點到根結點必然為一個有序的數列,現在的任務是將這個新資料插入到這個有序資料中——這就類似於直接插入排序中將一個數據併入到有序區間中,對照《白話經典算法系列之二 直接插入排序的三種實現》不難寫出插入一個新資料時堆的調整程式碼:

//  新加入i結點  其父結點為(i - 1) / 2
void MinHeapFixup(int a[], int i)
{
    int j, temp;
	
	temp = a[i];
	j = (i - 1) / 2;      //父結點
	while (j >= 0 && i != 0)
	{
		if (a[j] <= temp)
			break;
		
		a[i] = a[j];     //把較大的子結點往下移動,替換它的子結點
		i = j;
		j = (i - 1) / 2;
	}
	a[i] = temp;
}

更簡短的表達為:

void MinHeapFixup(int a[], int i)
{
	for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)
		Swap(a[i], a[j]);
}

插入時:

//在最小堆中加入新的資料nNum
void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)
{
	a[n] = nNum;
	MinHeapFixup(a, n);
}

堆的刪除

按定義,堆中每次都只能刪除第0個數據。為了便於重建堆,實際的操作是將最後一個數據的值賦給根結點,然後再從根結點開始進行一次從上向下的調整。調整時先在左右兒子結點中找最小的,如果父結點比這個最小的子結點還小說明不需要調整了,反之將父結點和它交換後再考慮後面的結點。相當於從根結點將一個數據的“下沉”過程。下面給出程式碼:

//  從i節點開始調整,n為節點總數 從0開始計算 i節點的子節點為 2*i+1, 2*i+2
void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)
{
    int j, temp;

	temp = a[i];
	j = 2 * i + 1;
	while (j < n)
	{
		if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的
			j++;

		if (a[j] >= temp)
			break;

		a[i] = a[j];     //把較小的子結點往上移動,替換它的父結點
		i = j;
		j = 2 * i + 1;
	}
	a[i] = temp;
}
//在最小堆中刪除數
void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)
{
	Swap(a[0], a[n - 1]);
	MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
}

堆化陣列

有了堆的插入和刪除後,再考慮下如何對一個數據進行堆化操作。要一個一個的從陣列中取出資料來建立堆吧,不用!先看一個數組,如下圖:

很明顯,對葉子結點來說,可以認為它已經是一個合法的堆了即20,60, 65, 4, 49都分別是一個合法的堆。只要從A[4]=50開始向下調整就可以了。然後再取A[3]=30,A[2] = 17,A[1] = 12,A[0] = 9分別作一次向下調整操作就可以了。下圖展示了這些步驟:

寫出堆化陣列的程式碼:

//建立最小堆
void MakeMinHeap(int a[], int n)
{
	for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
		MinHeapFixdown(a, i, n);
}


至此,堆的操作就全部完成了(注1),再來看下如何用堆這種資料結構來進行排序。

堆排序

首先可以看到堆建好之後堆中第0個數據是堆中最小的資料。取出這個資料再執行下堆的刪除操作。這樣堆中第0個數據又是堆中最小的資料,重複上述步驟直至堆中只有一個數據時就直接取出這個資料。

由於堆也是用陣列模擬的,故堆化陣列後,第一次將A[0]與A[n - 1]交換,再對A[0…n-2]重新恢復堆。第二次將A[0]與A[n – 2]交換,再對A[0…n - 3]重新恢復堆,重複這樣的操作直到A[0]與A[1]交換。由於每次都是將最小的資料併入到後面的有序區間,故操作完成後整個陣列就有序了。有點類似於。

void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)
{
	for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
	{
		Swap(a[i], a[0]);
		MinHeapFixdown(a, 0, i);
	}
}

注意使用最小堆排序後是遞減陣列,要得到遞增陣列,可以使用最大堆。

由於每次重新恢復堆的時間複雜度為O(logN),共N - 1次重新恢復堆操作,再加上前面建立堆時N / 2次向下調整,每次調整時間複雜度也為O(logN)。二次操作時間相加還是O(N * logN)。故堆排序的時間複雜度為O(N * logN)。STL也實現了堆的相關函式,可以參閱《

注1 作為一個數據結構,最好用類將其資料和方法封裝起來,這樣即便於操作,也便於理解。此外,除了堆排序要使用堆,另外還有很多場合可以使用堆來方便和高效的處理資料,以後會一一介紹。