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矩陣求逆引理推導及理解

問題引入:

在遞推最小二乘法估計問題中,因為每次推導運算時必須計算矩陣和的逆,這樣做工作量非常大,為了簡化,通常使用矩陣求逆引理來簡化計算量。

 

 

矩陣求逆引理的結論及推導如下:

 

矩陣求逆引理要解決的問題是:

已知一個高維矩陣A的逆矩陣,當A矩陣產生了一個非常小的變化(維數遠低於A或者低於A)時,能不能根據已知的A的逆矩陣,求產生微小變化後的矩陣的逆

 

具體來看在RLS問題中應用到矩陣求逆引理的推導:

P_{N+1}=(P_{N}^-^1+\varphi _{N+1}\varphi _{N+1}^T)^-^1=P_{N}-\frac{P_{N}\varphi _{N+1}\varphi _{N+1}^TP_{N}}{1+\varphi _{N+1}^TP_{N}\varphi _{N+1}}

\varphi _{N+1}^TP_{N}\varphi _{N+1}是一個標量,這樣就能直接運算而不需要求逆,相當簡潔。