本文整理自論文《Non-contact, automated cardiac pulse measurements using video imaging and blind source separation》及ICA相關資料。

獨立成分分析（Independent Component Analysis，ICA），是一種資料驅動的訊號分析方法，常用於盲源分離（Blind Source Separation，BSS）。

盲源分離是指在訊號的理論模型和源訊號無法精確獲知的情況下，如何從混迭訊號（觀測訊號）中分離出各源訊號的過程。盲源分離和盲辨識是盲訊號處理的兩大型別。盲源分離的目的是求得源訊號的最佳估計，盲辨識的目的是求得傳輸通道的混合矩陣。

最典型的盲源分離問題是雞尾酒會問題（Cocktail Party Problem）：給定混合訊號，分離出雞尾酒會中同時說話的每個人的獨立訊號。

ICA原理

預處理
在進行ICA之前通常對資料進行去均值和白化，使用PCA處理，以保證混合矩陣為正交矩陣，且可將採集訊號數目降到與源訊號數目相等。

演算法目標
源訊號 $s=[s_{}$

基本假設

1. 各源訊號間獨立
2. 至多有一個訊號服從高斯分佈，混合後訊號不服從高斯分佈
3. 變換為線性變換，且變換矩陣非時變

主要思路
ICA方法沒有參照目標，需要自組織學習過程。其主要思路為：

1. 建立以 $W$為變數的目標函式 $L(W)$，當 $L(W)$取到極值時的 $W$即為所求結果。
2. 使用優化方法找到 $L(W)$的極值，得到最終的 $W$。

常使用的演算法主要分為基於資訊理論方法和基於統計學方法。基於資訊理論方法主要有FastICA，Infomax，最大似然估計等方法，基於統計學方法主要有二階累積量，四階累積量等方法。下面簡要介紹最大似然估計方法。

最大似然估計法
假設單個源訊號 $s_{i}$的概率密度為 $p(s_{i})$，則全體源訊號 $s$ 的聯合分佈為：
$p(s)=\prod_{i=1}^{n}p(s_{i})$則經過 $x=As=W^{-1}s$變換後 $x$的概率分佈為：
$p(x)=\prod_{i=1}^{n}p(w_{i}^{T}x)\cdot|W|$由基本假設得知不能選用高斯累積分佈函式，令 $p(x)$的累積分佈函式為sigmoid函式 $f(s)=\frac{1}{1+e^{-s}}$，則 $p(x)=f'(s)=f(s)(1-f(s))$。可得關於 $W$的似然函式，式中m表示時間序列。
$l(W)=\sum_{j=1}^{m}(\sum_{i=1}^{n}\log p(w_{i}^{T}x^{j})+\log|W|)$將 $l(W)$關於W求導後可得到對於每一個x的梯度更新規則：
$W:=W+\alpha \left ( \begin{bmatrix}1-2f(w_{1}^{T}x)\\ 1-2f(w_{2}^{T}x)\\ \vdots \\ 1-2f(w_{n}^{T}x)\end{bmatrix}x^{T}+(W^{T})^{-1}\right )$