【BZOJ3512】DZY Loves Math IV（杜教篩）

題面

BZOJ
求
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)\]
其中\(n\le 10^5,m\le 10^9\)。

題解

這個資料範圍很有意思。
\(n\)的值足夠小，所以我們可以直接暴力列舉\(n\)。
那麼所求：
\[S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(ni)\]
考慮如何將\(\varphi\)給拆開，因為\(\varphi\)只有每個質因子第一次出現的時候才會特殊計算，其他時候都直接乘起來，因此，假設\(\displaystyle n=\prod p_i^{a_i}\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 2000000
int n,m,ans;
int pri[MAX],tot,phi[MAX],mn[MAX];
bool zs[MAX];
void pre(int n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!zs[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1,mn[i]=i;
        for(int j=1;i*pri[j]<=n&&j<=tot;++j)
        {
            zs[i*pri[j]]=true;mn[i*pri[j]]=pri[j];
            if(i%pri[j])phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
            else{phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)phi[i]=(phi[i-1]+phi[i])%MOD;
}
map<int,int> M,S[100010];
int Phi(int n)
{
    if(n<MAX)return phi[n];
    if(M[n])return M[n];
    int ret=1ll*n*(n+1)/2%MOD;
    for(int i=2,j;i<=n;i=j+1)
    {
        j=n/(n/i);
        ret=(ret+MOD-1ll*(j-i+1)*Phi(n/i)%MOD)%MOD;
    }
    return M[n]=ret;
}
int Solve(int n,int m)
{
    if(!m)return 0;
    if(n==1)return Phi(m);
    if(m==1)return (Phi(n)-Phi(n-1)+MOD)%MOD;
    if(S[n][m])return S[n][m];
    int ret=0;
    vector<int> fac;int p=1,q=1,N=n;
    while(N>1)
    {
        int x=mn[N];q*=x;N/=x;fac.push_back(x);
        while(N%x==0)p*=x,N/=x;
    }
    for(int i=0,l=fac.size();i<1<<l;++i)
    {
        int d=1;
        for(int j=0;j<l;++j)if(i&(1<<j))d*=fac[j];
        ret=(ret+1ll*(Phi(q/d)-Phi(q/d-1)+MOD)*Solve(d,m/d))%MOD;
    }
    return S[n][m]=1ll*ret*p%MOD;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);pre(MAX);
    for(int i=1;i<=n;++i)ans=(ans+Solve(i,m))%MOD;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}