Codechef Union on Tree

https://www.codechef.com/problems/BTREE

簡要題意:

• 給你一棵樹，\(Q\)次詢問，每次給出一個點集和每個點的\(r_i\)，每個點可以覆蓋距離小於等於\(k\)的點。
• 問有多少點會被覆蓋。

分析:

• 建出虛樹，然後我們做兩邊\(dp​\)把所有點的\(r_i​\)更新成從這個點能覆蓋的最遠距離或從其他點出來經過這個點後能夠覆蓋的最遠距離。
• 這樣做的好處是對於一條邊\((x,y)\)，一定存在一個點\(z\)，使得\(y\)更新\(z\)比\(x\)優。
• 於是可以計算答案，令\(F(x,d)\)
  為和\(x\)距離小於等於\(d\)的點數。
• 答案等於\(\sum\limits_iF(i,r_i)-\sum\limits_{x,y,p\in x,p\in y}1\)。 前面那個直接求就行了。
• 後面那個相當於找到這個\(z\)，設\(x\)是\(y\)的祖先，有多個點在\(z\)上邊被\(y\)包含，有多少點在\(z\)下邊被\(x\)包含。
• 由於\(r_x-(dep_z-dep_x)=r_y-(dep_y-dep_z)\)，可以確定\(z\)的位置，同時可以發現所求的點向上下延伸的長度是相等的，於是相當於求\(F(z,r_x-(dep_z-dep_x))\) 。
• 求\(F\)
  可以用動態點分治。
• 還有一個問題，可能不存在\(z\)這個點，可能在邊上，我們一開始把邊也當成點就好了。

程式碼:

 #include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define N 100050
char buf[100000],*p1,*p2;
#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
inline int rd() {int x=0;char c=nc(); while(c<48)c=nc();while(c>47)x=((x+(x<<2))<<1)+(c^48),c=nc(); return x;}
#define db(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<endl
int head[N],to[N<<1],nxt[N<<1],cnt,n,m,ff[N],lm;
int siz[N],fk[N],tot,root,dep[N],fa[N][20],dis[N][20],used[N],ans;
int sz[N],son[N],d[N],f[N],top[N],dfn[N],idf[N];
int p[N],r[N],S[N],tp,vis[N];
vector<int>V[N][2];
inline void add(int u,int v) {to[++cnt]=v; nxt[cnt]=head[u]; head[u]=cnt;}
void gr(int x,int y) {
    int i; siz[x]=1; fk[x]=0;
    for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=y&&!used[to[i]]) {
        gr(to[i],x); siz[x]+=siz[to[i]]; fk[x]=max(fk[x],siz[to[i]]);
    }
    fk[x]=max(fk[x],tot-siz[x]); if(fk[x]<fk[root]) root=x;
}
void gd(int x,int y,int rt,int d) {
    sz[rt]+=(x<=n); V[rt][0][d]+=(x<=n); V[rt][1][dis[x][dep[x]]]+=(x<=n);
    fa[x][++dep[x]]=rt; dis[x][dep[x]]=d; int i;
    for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=y&&!used[to[i]]) {
        gd(to[i],x,rt,d+1);
    }
}
void solve(int x) {
    int i,al=tot;
    used[x]=1; V[x][0].resize(al+2),V[x][1].resize(al+2); gd(x,0,x,0);
    for(i=1;i<al+2;i++) V[x][0][i]+=V[x][0][i-1],V[x][1][i]+=V[x][1][i-1];
    for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(!used[to[i]]) {
        tot=siz[to[i]]; if(tot>siz[x]) tot=al-siz[x]; root=0; gr(to[i],x); solve(root);
    }
}
int query(int x,int o,int v) {if(!x) return 0; if(v>int(V[x][o].size())-1) return sz[x]; return V[x][o][v];}
int work(int x,int v) {if(v<0)return 0;int i,re=0; for(i=dep[x];i;i--) if(v>=dis[x][i]) re+=query(fa[x][i],0,v-dis[x][i])-query(fa[x][i+1],1,v-dis[x][i]); return re;}
void d1(int x,int y) {
    f[x]=y,d[x]=d[y]+1,siz[x]=1;int i;
    for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=y) {
        d1(to[i],x),siz[x]+=siz[to[i]];
        if(siz[to[i]]>siz[son[x]]) son[x]=to[i];
    }
}
void d2(int x,int t) {
    top[x]=t; dfn[x]=++dfn[0]; idf[dfn[0]]=x; if(son[x]) d2(son[x],t); int i;
    for(i=head[x];i;i=nxt[i]) if(to[i]!=f[x]&&to[i]!=son[x]) d2(to[i],to[i]);
}
int lca(int x,int y) {for(;top[x]!=top[y];y=f[top[y]]) if(d[top[x]]>d[top[y]]) swap(x,y);  return d[x]<d[y]?x:y;}
int jmp(int x,int t) {for(;d[top[x]]>t;x=f[top[x]]); return idf[dfn[x]-(d[x]-t)];}
inline bool cmp(const int &x,const int &y) {return dfn[x]<dfn[y];}
void d3(int x) {p[++lm]=x; int i;if(!vis[x]) r[x]=-1;for(i=head[x];i;i=nxt[i])ff[to[i]]=x,d3(to[i]);head[x]=0;}
int main() {
    n=rd(); int i,x,y;
    for(i=1;i<n;i++) {
        x=rd(), y=rd(); add(x,n+i), add(n+i,x); add(y,n+i), add(n+i,y);
    }
    fk[0]=1<<30; tot=2*n-1; root=0; gr(1,0); solve(root); d1(1,0); d2(1,1);
    int Q=rd(); memset(head,0,sizeof(head)); cnt=0;
    while(Q--) {
        m=rd(); cnt=ans=0;
        for(i=1;i<=m;i++) p[i]=rd(),r[p[i]]=rd()<<1,vis[p[i]]=1;
        sort(p+1,p+m+1,cmp); S[tp=1]=1;
        for(i=1;i<=m;i++) {
            x=p[i]; y=lca(x,S[tp]);
            while(d[y]<d[S[tp]]) {
                if(d[y]>=d[S[tp-1]]) {
                    add(y,S[tp]); tp--;
                    if(S[tp]!=y) S[++tp]=y;
                    break;
                }
                add(S[tp-1],S[tp]); tp--;
            }
            if(S[tp]!=x) S[++tp]=x;
        }
        while(tp>1) add(S[tp-1],S[tp]),tp--;
        lm=0; d3(1);
        for(i=lm;i>1;i--) r[ff[p[i]]]=max(r[ff[p[i]]],r[p[i]]-(d[p[i]]-d[ff[p[i]]]));
        for(i=2;i<=lm;i++) r[p[i]]=max(r[p[i]],r[ff[p[i]]]-(d[p[i]]-d[ff[p[i]]]));
        for(i=1;i<=lm;i++) ans+=work(p[i],r[p[i]]);
        for(i=2;i<=lm;i++) {
            x=p[i],y=ff[x];
            int z=jmp(x,(d[x]-r[x]+d[y]+r[y])>>1);
            ans-=work(z,r[x]-(d[x]-d[z]));
        }
        printf("%d\n",ans);
        for(i=1;i<=lm;i++) vis[p[i]]=0;
    }
}