題目

給定整數N，返回斐波拉契數列的第N項。

O(2^N)的方法：

/**
 * 暴力遞迴（O(2^N)）
 *
 * @param n 給定整數
 * @return 斐波拉契數列第n項
 */
public int f1(int n) {
    if (n < 1) {
        return 0;
    }
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }
    return f1(n - 1) + f1(n - 2);
}

O(N)的方法：

/**
 * 順序計算（O(N)）
 *
 * @param n 給定整數
 * @return 斐波拉契數列第n項
 */
 

public int f2(int n) {
    if (n < 1) {
        return 0;
    }
    if (n == 1 || n == 2) {
        return 1;
    }

    int res = 1;
    int pre = 1;
    int tmp = 0;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        tmp = res;
        res += pre;
        pre = tmp;
    }
    return res;
}

O(logN)的方法：

如果遞迴式嚴格遵循F(N)=F(N-1)+F(N-2)，對於求第N項的值，有矩陣乘法的方式可以將時間複雜度降至O(logN)。因為上式是一個二階遞推數列，所以一定可以用矩陣乘法的形式表示，其中狀態矩陣為2*2的矩陣。代入數列前四項，可求得狀態矩陣為{{1，1}，{1，0}}。

所以問題就變成了如何用最快方法求一個矩陣的N次方的問題，而求矩陣N次方的問題類似求一個整數N次方，是一個能夠在O(logN)時間內解決的問題。

先給出求一個整數N次方的O(logN)方法：

/**
 * 求整數的N次方(O(logN))
 *
 * 例如我們想求12^75的值，快速解法如下：
 * 1. 75的二進位制數形式為1001011
 * 2. 12^75=12^64∗12^8∗12^2∗12^1
 * 具體求解的時候，我們先計算12^1，然後根據12^1求12^2，再根據12^2求12^4，以此類推，最後求12^64。
 * 即75的二進位制數形式總共為多少位，我們就要在原基礎上平方几次。這樣，就將複雜度為O(N)的計算降到了O(logN)。
 *
 * @param base     底數
 * @param exponent 指數
 * @return 結果
 */
 

public int power(int base, int exponent) {
    int tmp = base;
    int result = 1;

    for (; exponent != 0; exponent >>= 1) {
        // 只有當最低位為1時，結果才乘上現在的值
        if ((exponent & 1) != 0) {
            result *= tmp;
        }
        tmp *= tmp; //每移位一次，冪方計算一次
    }

    return result;
}

類似地可以給出用矩陣乘法實現求解斐波拉契數列第N項的O(logN)方法：

    /**
     * 兩個矩陣相乘
     *
     * @param m1 矩陣1
     * @param m2 矩陣2
     * @return 相乘結果
     */
    public int[][] muliMatrix(int[][] m1, int[][] m2) {
        int[][] res = new int[m1.length][m2[0].length];

        for (int i = 0; i < m1.length; i++) {
            for (int j = 0; j < m2[0].length; j++) {
                for (int k = 0; k < m2.length; k++) {
                    res[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];
                }
            }
        }

        return res;
    }

    /**
     * 求矩陣m的p次方（類似求整數的N次方）
     *
     * @param m 矩陣m
     * @param p 指數
     * @return 結果
     */
    public int[][] matrixPower(int[][] m, int p) {
        int[][] res = new int[m.length][m[0].length];

        //先把res置為單位矩陣，相當於整數中的1
        for (int i = 0; i < res.length; i++) {
            res[i][i] = 1;
        }

        int[][] tmp = m;
        for (; p != 0; p >>= 1) {
            if ((p & 1) != 0) {
                res = muliMatrix(res, tmp);
            }
            tmp = muliMatrix(tmp, tmp);
        }

        return res;
    }

    /**
     * 用矩陣乘法（O(logN)）
     *
     * @param n 給定整數
     * @return 斐波拉契數列第n項
     */
    public int f3(int n) {
        if (n < 1) {
            return 0;
        }
        if (n == 1 || n == 2) {
            return 1;
        }

        int[][] base = {{1, 1}, {1, 0}};
        int[][] res = matrixPower(base, n - 2);

        return res[0][0] + res[1][0];
    }
}