正態分佈&&切比雪夫不等式

阿新 • • 發佈：2018-12-23

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一維正態分佈

若隨機變數

服從一個位置引數為

、尺度引數為

的概率分佈，且其概率密度函式為 [2]

則這個隨機變數就稱為正態隨機變數，正態隨機變數服從的分佈就稱為正態分佈，記作

，讀作

服從

，或

服從正態分佈。 μ維隨機向量具有類似的概率規律時，稱此隨機向量遵從多維正態分佈。多元正態分佈有很好的性質，例如，多元正態分佈的邊緣分佈仍為正態分佈，它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態分佈，特別它的線性組合為一元正態分佈。本詞條的正態分佈是一維正態分佈，此外多維正態分佈參見“

二維正態分佈”。

標準正態分佈

當

時，正態分佈就成為標準正態分佈

性質

正態分佈的一些性質： [2] （1）如果

且a與b是實數，那麼

(參見期望值

和方差)。（2）如果

與

是統計獨立的正態隨機變數，那麼：它們的和也滿足正態分佈

它們的差也滿足正態分佈

U與V兩者是相互獨立的。（要求X與Y的方差相等）（3）如果

和

是獨立常態隨機變數，那麼：它們的積XY服從概率密度函式為p的分佈

其中

是修正貝塞爾函式（modified Bessel function）它們的比符合柯西分佈，滿足

（4）如果

為獨立標準常態隨機變數，那麼

服從自由度為 n的卡方分佈。

切比雪夫不等式，描述了這樣一個事實，事件大多會集中在平均值附近。

2.1 切比雪夫不等式與直觀感受

切比雪夫不等式是這麼寫的：

$P(|X-\mu | \geq k\sigma ) \leq \frac1{k^2}\\$

其中 $k > 0$ ， $\mu$ 是期望， $\sigma$ 是標準差。

我們還是通過 $\mu =1.3,\sigma =0.25$ 的正態分佈來感受一下切比雪夫不等式：可見，越遠離平均值，概率越低。

2.2切比雪夫不等式的證明

馬爾科夫不等式是這樣的：

${\displaystyle P (X\geq a)\leq {\frac{E (X)}{a}}}\\$

我們把 $|X-\mu |$ 代入：

${\displaystyle P (|X-\mu | > a)\leq {\frac{E(|X-\mu |)}{a}}}\\$

很顯然等價於：

${\displaystyle P((X-\mu )^2 \geq a^2) \leq \frac{E((X-\mu )^2)}{a^2}=\frac{\sigma ^2}{a^2}}\\$

令 $k=\frac{a}{\sigma }$ ，容易得到 $k > 0$ ：

${\displaystyle P(|X-\mu | \geq k\sigma )\leq \frac{1}{k^2}}\\$

正態分佈&&切比雪夫不等式

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