【bzoj3625】【CF438E/round250E】小朋友和二叉樹【FFT/NTT】【多項式求逆】【多項式開根】

題目連結
題解：我們設f[i]表示權值為i的二叉樹的數目，g[i]為i這個值是否在C集合中出現。則很容易得到 $f [x] = \sum_{i - 1}^{x} g [i] \sum_{j = 0}^{x - i} f [j] f [x - i - j]$ ，且 $f [0] = 1$ 。
因此，觀察可得 $f = g f^{2} + 1$
=> $g f^{2} - f + 1 = 0$
=> $f = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 g}}{2 g}$
=> $f = \frac{4 g}{2 g (1 \pm \sqrt{1 - 4 g})}$
=> $f = \frac{2}{1 \pm \sqrt{1 - 4 g}}$
因為g常數項為0，所以 $\sqrt{1 - 4 g}$ 常數項必定為1。如果 $f = \frac{2}{1 \pm \sqrt{1 - 4 g}}$

f = \frac{2}{1 \pm \sqrt{1 - 4 g}}

取負號，無法進行多項式求逆。但是蒟蒻博主暫時沒有搞明白取負號為什麼一定不行。
所以

f = \frac{2}{1 + \sqrt{1 - 4 g}}

。
因此我們可以通過多項式開根和多項式求逆得到f。
它們的大體思路都是倍增。
多項式求逆：

A (x) B (x) \equiv 1 (m o d x^{n})

A (x) B (x) - 1 \equiv 0 (m o d x^{n})

(A (x) B (x) - 1)^{2} \equiv 0 (m o d x^{2 n})

A (x) (2 B (x) - B (x)^{2} A (x)) \equiv 1 (m o d x^{2 n})

就這樣一層一層推上去就可以了。
多項式開根：

B (x)^{2} \equiv A (x) (m o d x^{n})

B (x)^{2} - A (x) \equiv 0 (m o d x^{n})

B (x)^{4} - 2 B (x)^{2} A (x) + A (x)^{2} \equiv 0 (m o d x^{2 n})

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