動態規劃C++實現--最長遞增子序列
題目： 給定陣列arr, 返回arr的最長遞增子序列。
舉例：arr = [2, 1, 5, 3, 6, 4, 8, 9, 7], 返回的最長遞增子序列為 [1, 3, 4, 8, 9]
要求：如果arr長度為N，請實現時間複雜度為O(NlogN)的方法。
目錄： 一、 時間複雜度O(N^2)的方法
二、 時間複雜度O(NlogN)的方法
一、 先介紹時間複雜度O(N^2)的方法，具體過程如下：
1. 生成長度為N的陣列dp, dp[i]表示在以arr[i]這個數結尾的情況下，arr[0...i]中的最大遞增序列長度。
2. 對第一個數arr[0]來說，令dp[0] = 1,接下來，從左到右依次計算出每個數結尾的情況下的最長遞增序列長度。
3. 計算dp[i]，如果最長遞增子序列以arr[i]結尾，那麼arr[0,...,i-1]中所有比arr[i]小的數都可以作為倒數第二個數
所以 dp[i] = max{ dp[j] + 1} (0 <=j < i, arr[j] < arr[i])， 如果arr[0,...,i-1]中所有數都不比arr[i]小，令dp[i] = 1。
4.根據求出的dp陣列，得到最長遞增子序列。遍歷dp陣列，找到最大值以及位置，並開始逆序還原出決策路徑。
程式碼如下：
// 最長遞增序列 <動態規劃> <複雜度0(N^2)> #include<bits/stdc++.h> using namespace std; vector<int> getdp1(vector<int> &arr); vector<int> generateLIS(vector<int> &arr, vector<int>&dp); int main() { vector<int> arr; int temp; while(cin >> temp){ arr.push_back(temp); } vector<int> dp = getdp1(arr); vector<int> lis = generateLIS(arr, dp); for (int i = 0; i < lis.size(); i++){ cout << lis[i]<<" "; } return 0; } vector<int> getdp1(vector<int> &arr){ vector<int> dp(arr.size(), 0); for(int i = 0; i < arr.size(); i++){ dp[i] = 1; for (int j = 0; j < i; j++){ if (arr[j] < arr[i]){ dp[i] = max(dp[j]+ 1, dp[i]); } } } return dp; } vector<int> generateLIS(vector<int> &arr, vector<int> &dp){ int len = 0; int index = 0; for (int i = 0; i < dp.size(); i++) { //尋最長遞增子序列末尾的位置和值 if (dp[i] > len) { len = dp[i]; // 最長序列長度 index = i; // 最長序列末位置 } } vector<int> lis(len, 0); lis[--len] = arr[index]; for (int i = index; i >= 0; i--){ if (arr[i] < arr[index] && dp[i] == dp[index] - 1){ //從後往前找子序列 lis[--len] = arr[i]; index = i; } } return lis; } /* input 2 1 5 3 6 4 8 9 7 */ /* output 1 3 4 8 9 */
編譯器：codeblocks
輸入：
輸出：
二、 再介紹時間複雜度O(NlogN)的方法，具體過程如下：
計算dp陣列的過程達到時間複雜度O(NlogN)，這裡採用二分查詢進行優化，先生成一個長度為N的陣列ends和變數right.
遍歷的過程中ends[0,...,right]有效區，ends[right+1,...,N-1]無效區，
ends[b] = c 表示遍歷到目前為止，在所有長度為b+1的遞增序列中，最小的結尾數為c.
以arr=[2,1,5,3,6,4,8,9,7]為例進行說明：
1. 初始時，dp[0]=1, ends[0]=2, rights = 0, 有效區 ends[0...0],ends[0] = 2, 長度為1，結尾為2
2. arr[1] = 1, 在有效區ends[0,...0]找最左邊大於或等於arr[1]的數，發現ends[0] =2 >arr[1], 表示以arr[1]結尾的最長序列只有
一 個，dp[1] = 1, ends[0] = 1 (用1替換了原來的2)
3. arr[2] = 5, 在有效區ends[0,..0]找最左邊大於或等於arr[2]的數，發現並沒有，則ends的有效長度+1， end[1] = 5, 有效區
擴大，dp[2] = 2. arr[0,1] = {1, 5}
依此類推：
程式碼如下：
// 最長遞增序列 <動態規劃> <複雜度0(NlogN)>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int> getdp2(vector<int> &arr);
vector<int> generateLIS(vector<int> &arr, vector<int>&dp);
int main() {
vector<int> arr;
int temp;
while(cin >> temp){
arr.push_back(temp);
}
vector<int> dp = getdp2(arr);
vector<int> lis = generateLIS(arr, dp);
for (int i = 0; i < lis.size(); i++){
cout << lis[i]<<" ";
}
return 0;
}
vector<int> getdp2(vector<int> &arr){
vector<int> dp(arr.size(), 0);
vector<int> ends(arr.size(), 0);
ends[0] = arr[0]; dp[0] = 1;
int right = 0; int l = 0; int r = 0; int m = 0;
for (int i = 1; i < arr.size(); i++) {
l = 0;
r = right;
while(l <= r) { //二分法
m = (l + r) / 2;
if (arr[i] > ends[m]){
l = m + 1;
}else {
r = m - 1;
}
}
right = max(right, l);
ends[l] = arr[i];
dp[i] = l + 1;
}
return dp;
}
vector<int> generateLIS(vector<int> &arr, vector<int> &dp){
int len = 0; int index = 0;
for (int i = 0; i < dp.size(); i++) { //尋最長遞增子序列末尾的位置和值
if (dp[i] > len) {
len = dp[i];
index = i;
}
}
vector<int> lis(len, 0);
lis[--len] = arr[index];
for (int i = index; i >= 0; i--){
if (arr[i] < arr[index] && dp[i] == dp[index] - 1){ //從後往前找子序列
lis[--len] = arr[i];
index = i;
}
}
return lis;
}
/* input
2 1 5 3 6 4 8 9 7
*/
/* output
1 3 4 8 9
*/
編譯器：codeblocks
輸入：
輸出：
