前言

逆元其實是一個很小的知識點，但是在數論中也起到了比較大的作用。這篇文章主要是介紹逆元，和它在一些其他方面的應用。可能我在證明的過程中會出現一些錯誤，如果你在看這篇文章的過程中發現了問題，歡迎在私信或評論中指出！

What is 逆元

我們想一個問題，如果我們要求在modm下求a/b的答案，這顯然很簡單。但是當b變到很大的時候，樸素的做法就會“砰”的一聲爆炸！！如何解決這類問題呢，我們可以試著將出發轉化為乘法。
我們假設c為b在modm意義下的逆元。
則b⋅c≡1(modm)$b·c\equiv 1(modm)$，c⋅b=1(modm)$c·b=1(modm)$
所以

如何求逆元

1)費馬小定理；
首先再說這個方法前，我們先回顧一下費馬小定理。費馬小定理為ap≡a(modp)$a^p\equiv a(modp)$(p$p$為素數，且a$a$與p$p$互質)。
則可以證明：

2)擴充套件歐幾里得演算法；
首先我們還是要分析一個問題，假設我們有一個這樣的式子4X≡1(mod7)$4X\equiv 1(mod7)$，那麼我們是否可以把式子轉化為4X=7K+1$4X=7K+1$。於是乎我們就可以把式子轉換為4X−7K=1$4X-7K=1$，我們就可以通過擴充套件歐幾里得的方法來找出整數解X$X$和K$K$，最後X$X$就是在mod7$mod7$意義下與4$4$的逆元。這種方法的時間複雜度依舊是O(logn)$O(logn)$。

後記

其實逆元真的很簡單，這篇文章只是一個證明及總結，程式碼我沒有放，但是非常的好寫。