一、除法取模逆元

在演算法設計中，常會遇到求 a/b mod m的計算，當a很大，或者b很大，使得a/b的值無法直接計算的時候，通常採用逆元的方法，化除法為乘法。（逆元的概念在離散數學中 有學習）

a/b mod m 等價計算為 a*k mod m (k是b的模m乘法逆元)

證明過程：

由於k是b的模m乘法逆元。 即 b*k mod m == 1

b*k = xm + 1

k = (xm+1) / b

則 a * k mod m = a * (xm + 1) / b mod m

 = a/b * (xm + 1) mod m

 = xa/b * m mod m + a / b mod m

 = a / b mod m

所以以上兩式等價。

二、擴充套件歐幾里得

歐幾里得定理， gcd（a, b）用來求a，b的最大公約數。 gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = gcd

擴充套件歐幾里得定理:

對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。 c++描述：

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) 
{
    if(0 == b){
        x = 1, y = 0;
        return ;
    }
    exgcd(b, a%b, x, y);
    int flag = x;
    x = y;
    y = flag - a/b * y;
}
 

通過擴充套件歐幾里得定理，可以求出b的模m乘法逆元。 由於 b*k mod m == 1 所以 b*k + m*n == 1 即求解方程中的k即可得到逆元 即函式中的x就是其逆元。 三、費馬小定理 假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那麼 a(p-1)≡1（mod p） 如果求解 a / b mod m 求 b 的模m乘法逆元，若b ， m互質 則 k* b mod m = 1 且 b ^ (m-1) mod m = 1 所以 k* b = b ^ (m-1) 可直接得出b的模m乘法逆元為 b ^ (m-2) 在演算法中常模1e9+7為質數，可用費馬小定理轉換。