B樹

為什麼要B樹

磁碟中有兩個機械運動的部分，分別是碟片旋轉和磁臂移動。碟片旋轉就是我們市面上所提到的多少轉每分鐘，而磁碟移動則是在碟片旋轉到指定位置以後，移動磁臂後開始進行資料的讀寫。那麼這就存在一個定位到磁碟中的塊的過程，而定位是磁碟的存取中花費時間比較大的一塊，畢竟機械運動花費的時候要遠遠大於電子運動的時間。當大規模資料儲存到磁碟中的時候，顯然定位是一個非常花費時間的過程，但是我們可以通過B樹進行優化，提高磁碟讀取時定位的效率。

簡介

這裡的B樹，也就是英文中的B-Tree，一個 m 階的B樹滿足以下條件：

1. 每個結點至多擁有m棵子樹；
2. 除了根結點以外，其餘每個分支結點至少擁有 m/2 棵子樹；
3. 根結點至少擁有兩顆子樹（存在子樹的情況下）；
4. 所有的葉結點都在同一層上，其可以看作是外部結點，不包含任何資訊；
5. 有 k 棵子樹的非葉子結點則其存在 k-1 個關鍵碼，關鍵碼按照遞增次序進行排列；
6. 關鍵字數量需要滿足ceil(m/2)-1 <= n <= m-1；

舉個栗子：

B樹上大部分的操作所需要的磁碟存取次數和B樹的高度是成正比的，在B樹中可以檢查多個子結點，由於在一棵樹中檢查任意一個結點都需要一次磁碟訪問，所以B樹避免了大量的磁碟訪問。

操作

既然是樹，那麼必不可少的操作就是插入和刪除，這也是B樹和其它資料結構不同的地方，當然了，還有必不可少的搜尋，分享一個對B樹的操作進行視覺化的

假定對高度為h的m階B樹進行操作。

插入

新結點一般插在第h層，通過搜尋找到對應的結點進行插入，那麼根據即將插入的結點的數量又分為下面幾種情況。

• 如果該結點的關鍵字個數沒有到達m-1個，那麼直接插入即可；
• 如果該結點的關鍵字個數已經到達了m-1個，那麼根據B樹的性質顯然無法滿足，需要將其進行分裂。分裂的規則是該結點分成兩半，將中間的關鍵字進行提升，加入到父親結點中，但是這又可能存在父親結點也滿員的情況，則不得不向上進行回溯，甚至是要對根結點進行分裂，那麼整棵樹都加了一層。

其過程如下：

刪除

同樣的，我們需要先通過搜尋找到相應的值，存在則進行刪除，需要考慮刪除以後的情況，

• 如果該結點擁有關鍵字數量仍然滿足B樹性質，則不做任何處理；
• 如果該結點在刪除關鍵字以後不滿足B樹的性質（關鍵字沒有到達ceil(m/2)-1的數量），則需要向兄弟結點借關鍵字，這有分為兄弟結點的關鍵字數量是否足夠的情況。
  • 如果兄弟結點的關鍵字足夠借給該結點，則過程為將父親結點的關鍵字下移，兄弟結點的關鍵字上移；
  • 如果兄弟結點的關鍵字在借出去以後也無法滿足情況，即之前兄弟結點的關鍵字的數量為ceil(m/2)-1，借的一方的關鍵字數量為ceil(m/2)-2的情況，那麼我們可以將該結點合併到兄弟結點中，合併之後的子結點數量少了一個，則需要將父親結點的關鍵字下放，如果父親結點不滿足性質，則向上回溯；
• 其餘情況參照BST中的刪除。

其過程如下：

B+樹

為什麼要B+樹

由於B+樹的資料都儲存在葉子結點中，分支結點均為索引，方便掃庫，只需要掃一遍葉子結點即可，但是B樹因為其分支結點同樣儲存著資料，我們要找到具體的資料，需要進行一次中序遍歷按序來掃，所以B+樹更加適合在區間查詢的情況，所以通常B+樹用於資料庫索引，而B樹則常用於檔案索引。

簡介

同樣的，以一個m階樹為例：

1. 根結點只有一個，分支數量範圍為[2，m]；
2. 分支結點，每個結點包含分支數範圍為[ceil(m/2), m]；
3. 分支結點的關鍵字數量等於其子分支的數量；
4. 所有葉子結點都在同一層，其關鍵字的數量範圍為[ceil(m/2), m]，從小到達進行排序；

操作

其操作和B樹的操作是類似的，不過需要注意的是，在增加值的時候，如果存在滿員的情況，將選擇結點中的值作為新的索引，還有在刪除值的時候，索引中的關鍵字並不會刪除，也不會存在父親結點的關鍵字下沉的情況，因為那只是索引。

B樹和B+樹的區別

這都是由於B+樹和B具有這不同的儲存結構所造成的區別，以一個m階樹為例。

1. 關鍵字的數量不同；B+樹中分支結點有m個關鍵字，其葉子結點也有m個，其關鍵字只是起到了一個索引的作用，但是B樹雖然也有m個子結點，但是其只擁有m-1個關鍵字。
2. 儲存的位置不同；B+樹中的資料都儲存在葉子結點上，也就是其所有葉子結點的資料組合起來就是完整的資料，但是B樹的資料儲存在每一個結點中，並不僅僅儲存在葉子結點上。
3. 分支結點的構造不同；B+樹的分支結點僅僅儲存著關鍵字資訊和兒子的指標（這裡的指標指的是磁碟塊的偏移量），也就是說內部結點僅僅包含著索引資訊。
4. 查詢不同；B樹在找到具體的數值以後，則結束，而B+樹則需要通過索引找到葉子結點中的資料才結束，也就是說B+樹的搜尋過程中走了一條從根結點到葉子結點的路徑。