向量內積（點乘）和外積（叉乘）概念及幾何意義
向量的內積（點乘）
定義
概括地說，向量的內積（點乘/數量積）。對兩個向量執行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘之後求和的操作，如下所示，對於向量a和向量b：
a和b的點積公式為：
這裡要求一維向量a和向量b的行列數相同。注意：點乘的結果是一個標量(數量而不是向量)
定義：兩個向量a與b的內積為 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特別地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，則a與b****正交的充要條件是a·b = 0。
向量內積的性質：
- a^2 ≥ 0；當a^2 = 0時，必有a= 0. （正定性）
- a·b = b·a. （對稱性）
- (λa + μb)·c = λa·c + μb·c，對任意實數λ, μ成立. （線性）
- cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
- |a·b| ≤ |a||b|，等號只在a與b共線時成立.
向量內積的幾何意義
內積（點乘）的幾何意義包括：
- 表徵或計算兩個向量之間的夾角
- b向量在a向量方向上的投影
有公式：
推導過程如下，首先看一下向量組成：
定義向量c：
根據三角形餘弦定理（這裡a、b、c均為向量，下同）有：
根據關係c=a-b有：
即：
a∙b=|a||b|cos(θ)
向量a，b的長度都是可以計算的已知量，從而有a和b間的夾角θ：
θ=arccos(a∙b|a||b|)
進而可以進一步判斷兩個向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向關係，具體對應關係為：
a∙b>0→方向基本相同，夾角在0°到90°之間
a∙b=0→ 正交，相互垂直
a∙b<0→ 方向基本相反，夾角在90°到180°之間
向量的外積（叉乘）
定義
概括地說，兩個向量的外積，又叫叉乘、叉積向量積，其運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的外積與這兩個向量組成的座標平面垂直。
定義：向量a與b的外積a×b是一個向量，其長度等於|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交於a與b。並且，(a,b,a×b)構成右手系。
特別地，0×a = a×0 = 0.此外，對任意向量a，a×a=0。
對於向量a和向量b：
a和b的外積公式為：
其中：
根據i、j、k間關係，有：
向量外積的性質
- a × b = -b × a. （反稱性）
- (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （線性）
向量外積的幾何意義
在三維幾何中，向量a和向量b的外積結果是一個向量，有個更通俗易懂的叫法是法向量，該向量垂直於a和b向量構成的平面。
在3D影象學中，外積的概念非常有用，可以通過兩個向量的外積，生成第三個垂直於a，b的法向量，從而構建X、Y、Z座標系。如下圖所示：
在二維空間中，外積還有另外一個幾何意義就是：|a×b|在數值上等於由向量a和向量b構成的平行四邊形的面積。