B樹，又稱多路平衡查詢樹，B樹中所有節點的孩子結點數的最大值成為B樹的階，通常用m表示。一棵m階B樹或為空樹，或為滿足如下特性的m叉樹：

1）樹中每個結點至多有m棵子樹（即至多含有m-1個關鍵字）。

2）若根結點不是終端結點，則至少有兩棵子樹。

3）除根結點外的所有非葉結點至少有【m/2】(向上取整)棵子樹（即至少含有【m/2】-1個關鍵字）

4）所有非葉結點的結構如下：

其中，Ki(i=1,2,...,n)為結點的關鍵字，且滿足K1<K2<···<Kn;Pi(i=0,1,···，n)為指向子樹根結點的指標，且指標Pi-1所指向子樹中所有結點的關鍵字均小於Ki,Pi所指子樹中所有結點的關鍵字均大於Ki，n( 向下取整【m/2】-1<=n<=m-1 )為結點中關鍵字的個數。

5）所有的葉節點都出現在同一層次上，並且不帶資訊（可以看做是外部結點或者類似於折半查詢判定樹的查詢失敗結點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指標為空）。

B樹是所有結點的平衡因子均等於0的多路查詢樹,其中底層方形結點表示葉結點，在這些結點中沒有儲存任何資訊。

1.B樹的高度（磁碟存取次數）

由下一節可知，B樹中的大部分操作所需的磁碟存取次數與B樹的高度成正比。

下面來分析B樹在不同的情況下的高度。當然，首先應明確B樹的高度不包括最後的不帶任何資訊的葉結點所處的那一層。

如果n>=1，則對任意一棵包含n個關鍵字，高度為h，階數為m的B樹：

1）因為B樹中每個結點最多有m棵子樹，m-1個關鍵字，所以在一棵高度為h的m階B樹中關鍵字的個數應滿足n<=（1+m+m^2+……+m^(h-1)）=m^h-1。因此有

h>=logm  (n+1)（由關鍵字個數計算B樹的最小高度）
2)若讓每個結點的關鍵字個數達到最少，則容納同樣多關鍵字的B樹的高度可達到最大。

由B樹定義：

第一層至少有1個結點；

第二層至少有2個結點；

除根結點以外的每個非終端結點至少有【m/2】（向下取整）棵子樹，則第三層至少有2*【m/2】（向下取整）個結點

……

第h+1層至少有2*（【m/2】向下取整）^(h-1)個結點，注意到第h+1層是不包含任何資訊的葉結點。

對於關鍵字個數為n的B樹，葉結點即查詢不成功的結點為n+1，

由此有n+1>2*([m/2]向上取整)^(h-1)，

即h<=log[m/2]（向上取整）（（n+1）/2）+1（由關鍵字個數計算B樹的最大高度）

假設一棵3階B樹，共有8個關鍵字，則其高度範圍為2<=h<=3.17

2.B樹的查詢

在B樹在進行查詢二叉樹很相似，只是每個結點都是多個關鍵字的有序表，在每個結點上所做的不是兩路分支決定，而是根據該結點的子樹所做的多路分支決定。

B樹的查詢包含兩個基本操作：

①在B樹中找結點；

②在結點中找關鍵字。

由於B樹常儲存在磁碟上，則前一個查詢操作是在磁碟上進行的，而後一個操作是在記憶體中進行的，即在找到目標結點後，先將結點中的資訊讀入記憶體，然後再順序查詢法或折半查詢法查詢等於k的關鍵字。

在B樹上查詢到某個結點後，先在有序表中進行查詢，若找到則查詢成功，否則按照對應的指標資訊到所指的子樹中查詢。當查詢到葉結點時（對應的指標為空指標），則說明樹中沒有對應的關鍵字，查詢失敗。

3.B樹的插入

與二叉查詢樹的插入操作相比，B樹的插入操作要複雜得多。在二叉查詢樹中，僅需查詢到需插入的終端結點的位置。但是，在B樹中找到插入的位置後，並不能簡單地將其加到終端結點中去，因為此時可能導致整棵樹不再滿足B樹中定義的要求。將關鍵字key插入到B樹的過程如下：

1）定位：利用前述的B樹查詢演算法，找出插入該關鍵字的最底層中某個非葉結點（注意，B樹中的插入關鍵字一定是插入在最底層中的某個非葉子結點內）

2）插入：在B樹中，每個非失敗結點的關鍵字個數都在【(m/2)向上取整-1，m-1】之間。當插入後的結點關鍵字個數小於m，則可以直接插入；插入後檢查被插入結點內關鍵字的個數，當插入後的結點關鍵字個數大於m-1時，則必須對結點進行分裂。

分裂的方法是：取一個新結點，將插入key後的原結點從中間位置將其中的關鍵字分為兩部分，左部分包含的關鍵字放在原結點中，右部分包含的關鍵字放在新的結點中，中間位置（【m/2】向上取整）的結點插入到原結點的父結點中。若此時導致其父結點的關鍵字個數也超過了上限，則繼續進行這種分裂操作，直到這個過程傳到根結點為止，這樣導致B樹高度增1。

4.B樹的刪除

B樹中的刪除操作與插入操作類似，但要稍微複雜些，要使刪除後的結點的關鍵字個數>=([m/2]向下取整)-1，因此涉及結點的合併問題。

當所刪除的關鍵字k不在終端結點（最底層非葉結點）中時，有下列幾種情況：

1）如果小於k的子樹中關鍵字個數>([m/2]向上取整)-1，則找出k的的前驅值K'，並且用K'來取代k,再遞迴地刪除K'即可。

2）如果大於k的子樹中關鍵字個數>([m/2]向上取整)-1，則找出k的的後繼值K'，並且用K'來取代k,再遞迴地刪除K'即可。

3）如果前後兩個子樹中關鍵字個數均為([m/2]向上取整)-1，則直接將兩個子結點合併，直接刪除k即可。

當被刪除的關鍵字在終端結點（最低層非葉結點）中時，有下列幾種情況：

1）直接刪除關鍵字：若被刪除關鍵字所在結點的關鍵字個數>【m/2】(向上取整)-1，表明刪除該關鍵字後仍滿足B樹的定義，則直接刪去該關鍵字。

2）兄弟夠借：若被刪除關鍵字所在結點刪除前的關鍵字個數=【m/2】(向上取整)-1，且與此結點相鄰的左（右）兄弟結點的關鍵字個數>=【m/2】(向上取整)，需要調整該結點左（右）兄弟結點及其雙親結點（父子換位法），以達到新的平衡。

3）兄弟不夠借：若被刪除關鍵字所在結點刪除前的關鍵字個數=【m/2】(向上取整)-1，且此時與該結點相鄰的左（右）兄弟結點的關鍵字個數=【m/2】(向上取整)-1，則將關鍵字刪除後，將左（右）兄弟結點及雙親結點中的關鍵字合併。

在合併的過程中，雙親結點的關鍵字個數會減少。若其雙親結點是根結點並且關鍵字個數減少至0（根結點關鍵字個數為1時，有兩棵子樹），則直接將根結點刪除，合併後的新結點成為根；若雙親結點不是根結點，且關鍵字個數減少至【m/2】-2，又要與它自己的兄弟結點進行調整或合併操作，並重覆上述步驟，直至符合B樹的要求為止。