米勒-拉賓(MillerRabbin)素性測試演算法詳解
寫在前面
網上有很多關於米勒拉賓素性測試演算法的部落格 但是大多數都是轉載，或者只有模板程式碼沒有分析講解的，甚至還有的分析的都是錯的。花了一早上，借鑑了幾十篇部落格，總算是把這個演算法理解了差不多，並且詳細整理了一下我的理解。
講解很細，篇幅較長，要是想看，準備好耐心。
個人理解，如有不對，歡迎指正。
米勒-拉賓(MillerRabbin)素性測試演算法
米勒-拉賓(MillerRabbin)素性測試演算法是一個高效判斷素數的方法
首先 在學習米勒拉賓素性測試涉及到兩個定理 先放出來 下文會詳細解釋
1、費馬小定理： 如果p為質數
(在mod p 的情況下)
2、對於任意一個小於p的正整數x，發現1（模p）的非平凡平方根存在，則說明p是合數。
首先說 費馬小定理
費馬素性測試
關於 費馬小定理 他的證明 這裡就不贅述了 感興趣可以自行百度
我們要用的是費馬小定理的逆推
費馬小定理說， 如果p為質數 則滿足
那麼是不是意味著 如果任意一個數p 滿足
如果這樣來檢測素數 這個方法就叫做費馬素性測試 但是答案是 不可以這樣！
要注意 p是質數 一定滿足費馬小定理 但是 滿足費馬小定理的數 並不能證明就是質數
有些數字 滿足費馬小定理，但是並不是質數 他們叫做偽質數 Carmichael（偽質數的個數是無窮的 文末附有偽質數表哦）
所以說 如果我們用費馬檢測去判斷素數是會出錯的
那麼這個出錯的概率是多大呢 在一定範圍內 有多少個數是偽素數呢？ 這個和a的選取有關係
當a = 2時，前十億個正整數中能滿足費馬小定理且不是素數的只有5597個 ，也就是說 出錯的概率是0.011%
雖然這個錯誤率不高 但是還是存在那麼多的偽素數 費馬檢測無法檢測出來
我需要一個新的方法 來判斷這些偽素數
這個時候也就是米勒拉賓演算法的核心部分了 二次探測
二次探測
這裡就要用到一開始放出來的那個定理二
2、對於任意一個小於p的正整數x，發現1（模p）的非平凡平方根存在，則說明p是合數。
乍一看是不是根本看不懂這個定理說的啥意思
其實翻譯下來就是下面這樣
如果p是一個素數，0 < x< p, 則方程
≡ 1(mod p) 的解為 x=1 ,x= p-1
反之 如果 x^ 2 ≡ 1(mod p) 的解不是 x=1 ,x= p-1 那 p 就不是素數
（我們把 1和-1稱為 平凡根 其他的根都稱為非平凡根
而 如果一個數x 的平方 模 p =1 或-1 我們就稱這個數是1 或 -1 模p 的非平凡平方根
然而
也就是隻用關心 1（模p）的非平凡平方根 而如果p是素數 那麼 他的根只可能是 1或者 p-1
若根不是1或者p-1 那他就是個合數 關於證明 在下邊）
我們用這條性質 進行二次探測
關於這條性質的證明： （如果不想看證明直接跳過 往下看
--------------------------------證明-----------------------------------------
那麼就是 ( x - 1 )( x + 1 ) ≡ 0(mod p) 就是說 ( x - 1 )( x + 1 ) % p = 0
那如果p是個質數
因為p是質數 所以 p不可能 %( x - 1 )=0 也不可能 %( x + 1 )=0
既然%他倆都不可能為0 也就是他倆都不是p的因子（x<p） 那他倆的乘積也不可能%p = 0
那
只有一個答案 ( x - 1 )( x + 1 )本身就=0 那麼也就是 x=1 或 p-1
由此可證明 p為素數的時候
--------------------------------證畢--------------------------------------------
有了這條性質
那麼 滿足x^ 2 ≡ 1(mod p) 的 x 值 只可能等於 1 或 p-1 如果不是這倆 那就不是素數 （x<p）
那麼我們去怎樣驗證呢 總不能把比 p 小的數一個一個驗證吧 那樣也太費時間了吧
所以 米勒拉賓演算法就提供了一個 快速的辦法（但不準確~~後面會講）
我們轉換個角度看問題
既然 我們遍歷所有 x 讓它 mod p 結果有很多種 我們需要的只是那些結果為1的 x
那我們反過來 把所有結果為 1 的 x 拿出來 看他們 是不是等於 p - 1 或 1
寫這裡 你可能要說了 what？ 怎麼根據結果找這些 x 我不經過計算怎麼知道結果是不是1 ？
彆著急 可以的 首先要明白 我們要找的 這些 x 都是滿足 x ^ 2 ≡ 1 (mod p) （別忘記了~~）
那麼 再看下剛才的費馬素性檢測
能通過費馬檢測的數 一定滿足
而 p - 1是一個偶數
（如果p是個偶數 我們不需要任何複雜的演算法 因為偶數只有2是質數 直接判斷即可 所以只有p是奇數 我們才進來判斷 p是奇數 p - 1 自然是偶數了）
然後 來看個很好理解的性質
任何一個偶數 都可以寫成
的形式 比如 6 可以寫成 2^1 * 3
所以 p-1 也可以寫成
那麼 
那麼式子就變成了 
我們把 
為什麼把費馬小定理化簡成這個樣子呢？ 我們來看看我們要找的 x x是滿足 x ^ 2 ≡ 1 (mod p) 解為 x=1 ,x= p-1的
而 
在 
這就是滿足 x ^ 2 ≡ 1 (mod p) 的那些 x 這個x是存在於
所以我們只需要在
當然 這裡還有一個重點 如果 x 在這個過程中一直不等於 1或 p-1 就能說明他不是素數嗎
不能！ 思路不要暈 我們要徹底明白米勒拉賓的核心
核心是 根據二次探測定理 我們要找滿足 x ^ 2 ≡ 1 (mod p) 的所有 x
要看這些x是不是全部為 1 或 p-1
但是挨個遍歷太慢了
然後我們發現 滿足x ^ 2 ≡ 1 (mod p) 的x 都存在於
然後我們去
嚴格來說 你想判斷一個數不是素數 需要找遍所有滿足條件的 x
而想找遍 x 你必須找遍所有k的取值
明白了這個 你可能會說 找遍所有k 肯定超時啊 扯了半天 這不還是判斷不了嗎。。。
別急 確實 米勒拉賓不能百分百的判斷出一個數是不是素數
但是 我們只嘗試幾個 k 值 去找x 如果x取值都不是 1或 p-1 雖然理論上不能斷定他百分百不是素數
但是 此時他是素數的概率很小 很小很小 比你買的新電腦剛開啟突然爆炸了的概率還小
所以 你可以認為他就不是個素數
那麼多嘗試幾個k 其實就是多嘗試幾個a k值取決於 a 的值
所以 多試幾個a 這個演算法的錯誤概率就可以降低到忽略不計
一般試個十幾次 二三十次就差不多
而且據說按照下表取a的值 在一定範圍內 可以使正確率達到百分之百 變成一個確定的演算法
- if n < 1 373 653 a = 2 and 3.
- if n < 9 080 191 a = 31 and 73.
- if n < 4 759 123 141 a = 2, 7, and 61.
- if n < 2 152 302 898 747 a = 2, 3, 5, 7, and 11.
程式碼
標有註釋
模板題目51nod1106
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mul(ll a,ll b,ll mod){//高精度
a%=mod;
b%=mod;
ll c=(long double)a*b/mod;
ll ans=a*b-c*mod;
return (ans%mod+mod)%mod;
}
ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod){//快速冪
ll res=1;
while(n){
if(n&1)
res=mul(res,x,mod);
x=mul(x,x,mod);
n>>=1;
}
return (res+mod)%mod;
}
bool Miller_Rabbin(ll a,ll n){
//把n-1 轉化成 (2^r)*d
ll s=n-1,r=0;
while((s&1)==0){
s>>=1;r++;
}
//算出 2^d 存在 k 裡
ll k=pow_mod(a,s,n);
//二次探測 看變化過程中是不是等於1 或 n-1
if(k==1)return true;
for(int i=0;i<r;i++,k=k*k%n){
if(k==n-1)return true;
}
return false;
}
bool isprime(ll n){
//這裡可以隨機取a值進行探測 探測次數可以自己定
//我寫了幾個我喜歡用的探測資料
ll times=7;
ll prime[100]={2,3,5,7,11,233,331};
for(int i=0;i<times;i++){
if(n==prime[i])return true;
if(Miller_Rabbin(prime[i],n)==false)return false;//未通過探測 返回假
}
return true;//所有探測結束 返回真
}
偽素數表
常用的
18位素數：154590409516822759
19位素數：2305843009213693951 (梅森素數)
19位素數：4384957924686954497Carmichael-list:
561 1105 1729 2465 2821 6601 8911 10585 15841 29341 41041 46657 52633 62745 63973 75361 101101 115921 126217 162401 172081 188461 252601 278545 294409 314821 334153 340561 399001 410041 449065 488881 512461 530881 552721 656601 658801 670033 748657 825265 838201 852841 997633 1024651 1033669 1050985 1082809 1152271 1193221 1461241 1569457 1615681 1773289 1857241 1909001 2100901 2113921 2433601 2455921 2508013 2531845 2628073 2704801 3057601 3146221 3224065 3581761 3664585 3828001 4335241 4463641 4767841 4903921 4909177 5031181 5049001 5148001 5310721 5444489 5481451 5632705 5968873 6049681 6054985 6189121 6313681 6733693 6840001 6868261 7207201 7519441 7995169 8134561 8341201 8355841 8719309 8719921 8830801 8927101 9439201 9494101 9582145 9585541 9613297 9890881 10024561 10267951 10402561 10606681 10837321 10877581 11119105 11205601 11921001 11972017 12261061 12262321 12490201 12945745 13187665 13696033 13992265 14469841 14676481 14913991 15247621 15403285 15829633 15888313 16046641 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